《数学九章》主要内容简介及赏析

　　原名为《数术大略》。共九卷。元代人称之为《数学九章》，又有人改九卷为十八卷，并于明代初期收入《永乐大典》。明代，王应遴从《永乐大典》抄录时，便定名为《数书九章》。清代，编《四库全书》时，沿用元代之书名《数学九章》，卷数仍用九卷。但是，赵琦美、宋景昌都用《数书九章》。而现今比较流行的名称，则是《数书九章》。《数书九章》是一部数学名著，此书也采取问题集的形式，全书十八卷，共列有八十一问。这八十一问厘为九类，每类九问，这九类分别是：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”等。此书的作者乃是宋、元时期四大杰出数学家之一，南宋秦九韶。
　　秦九韶，字道古，自称鲁郡人，可能生在南宋宁宗嘉定二年（1209年）（一说是生于宁宗嘉泰二年，即是公元1202年）于其父任职之巴州（今四川巴县），死于度宗咸淳年间之梅州（今广东梅县），终年六十岁左右。南宋宁宗末年期间，因宋军连年作乱，于嘉泰十二年（1219），攻克巴州，其父弃官携眷逃往南宋首府临安（今浙江杭州）。《数书九章》序中说：“早岁侍亲中都，因得访习于太史”。当指此事。在此时期，秦九韶正值幼年求学时期，由于其父关系，秦九韶不但与当时南宋著名天文家、历法家、建筑师有所接触，而且还“尝从隐君子受数学”，从而秦九韶学习了不少丰富的科学、技术知识，为他的著书立说奠定了坚实的基础。
　　南宋理宗宝庆元年（1225年），秦九韶之父调升“知潼川府”（今四川三台县），秦九韶随其父再次到达四川。次年（1226年），秦九韶之父携九韶与涪州（今四川涪陵）守王瑀父子等人同看“石鱼”，并刻石留名。成为秦九韶第一次公开留名于后世的机缘。这次秦九韶与其父同看石鱼，可能既庆祝其父之调升，又为秦九韶送行。因为此时秦九韶已到成年，应当进入社会。周密所说秦九韶“年十八（当是虚岁），在乡里为义兵首”。而“义兵首”，可能是地方上的常设机构，未必是当时地方武装。不久，秦九韶便由“义兵首”提升为正式“县尉”。这就是秦九韶看“石鱼”之后，正式步入社会的史实。
　　此后，李刘曾推荐秦九韶到南宋朝廷担任校对官，未赴任，仍居于四川。南宋理宗端平三年（1236年）后，秦九韶在湖北一带作官，后定居于湖州（今浙江吴兴县），到南宋理宗淳祐四年（1244年），升为建康府（今江苏南京）通判，当年其母病逝，秦九韶回湖州守孝。守孝三年间，从事于数学研究，于淳祐七年（1247年），完成数学巨著《数术大略》，即《数书九章》。由于秦九韶在天文、历法、数学等方面有较深造诣，经推荐，大约于理宗宝祐二年（1254年），被任命为建康沿江制置司参议，不久即离职家居，因秦九韶与贾似道、吴潜等人关系密切，大约于宝祐六年（1258年），被任命为代理琼州守，不数月，即被免职。他又通过吴潜，被任命为司农寺丞，又被任命为知临江（今江西南昌）军，两次任命，均遭到反对而未果任。后来，吴潜被贬，流放于潮州（今潮县），而贾似道执掌实权，秦九韶再次被任命到梅州作地方官，最后死于梅州。
　　《数书九章》共八十一问，分为九类，由题文来看，有的涉及自然现象，有的涉及社会现象，有的则涉及数学现象；这种分类法虽不完备，但可以说《数书九章》既继承、发扬我国传统数学的体制，又推陈出新、独具风格，其创新精神，诚可表彰。
　　《数书九章》之第一类为“大衍类”，就中论及“大衍总数术”。“大衍总数术”就是一次同余式解法。在西方，最早涉及一次同余式问题的是意大利数学家斐波纳契（L。Fibonacei），在他的书中，虽有两道一次同余式题，但无一般解法，到十八、十九世纪，大科学家欧拉（L。Euler）及大数学家高斯（C。F。Gauss）才先后给出一次同余式的一般解法。在我国，古算书《孙子算经》记载有“物不知数”一问，所给已知数虽是三个“两两互素”的数，但却没有给予明确的一般解法。在我国没有素数概念的情况下，秦九韶于《数书九章》中，不但给出化一般不互素的数为“两两互素”的一般方法。而且还给出一次同余式的一般解法。例如其卷二第九问“余米推数”题为：
　　“问有米铺，诉被盗去米一般三箩，皆适满，不记细数，今左壁箩剩一合，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马杓，在左壁箩满舀入布袋；乙称踢着木履，在中箩舀入袋；丙称摸得漆碗，在右壁箩舀入袋，将归食用，日久不知数。索到三器，马杓满容一升九合，木履容一升七合，漆碗容一升二合。欲知所失米数，计贼结断，三盗各几何”。
　　此问是一同余问题，设每箩原有米数为N（以合为计算单位），此问相当于解下列同余式组：
　　按秦九韶算法，表示以现代形式，即：
　　已知三问数19。17。12。两两互素，依题意得：
　　剩米数分别为1。14。1。称为余数。
　　而盗器容量为19。17。12。称为定母。
　　定母乘积为1917123876。称为衍母。
　　衍母除以各定母为204。228。323。称为衍数。
　　定母除以衍数之余为14。7。11。称为奇数。
　　求得乘率分别为15。5。11。
　　其求奇数之法，是用“大衍求一术”求之。
　　于是，可求得每箩平均米数为：
　　N115204145228111323M3876。22573M38763193。
　　即是每箩平均米数为3193合，故知左箩319313192合，中箩3193143179合，右箩319313192合。
　　三箩共失米数为3192317931929563合。
　　在秦九韶《数书九章》卷一，给出“大衍总数术”，此术即是一次同余式组的一般解法，若表示以现代形式，其解法步骤为：
　　设问题为：Nri（modAi），
　　其中Ai为问数，ri为余数。其解法步骤为：
　　1。求定数（或称定母）：用“两两连环求等，约奇弗约偶”，使问数Ai化为定数ai，而且（ai，ai）1。
　　2。求衍母：求各定数之积
　　3。求衍数：衍母除以各定数
　　4。求奇数：设奇数为，由衍数Mi减去定数ai之余，
　　即求mikaigi，
　　或migi（modai），
　　5。求乘率；设乘率为ki，用“大衍求一术”求之，实即使kigi1（modai）成立之最小正整数ki，
　　6。求用数：乘率乘以各衍数即是用数Ni，NikiMi，7。求各总：余数乘以各用数即是各总Si，SiriNi，
　　8。所求数：所求数为N，即
　　以上就是秦九韶推求一次同余式组的一般解法。其解法的理论、步骤，与欧拉、高斯的解法理论，步骤几乎完全一致，但比欧洲却早五百余年。
　　在《数书九章》卷五第二“三斜求积”问中，秦九韶给出已知三角形不等三边（大斜，中斜，小斜），求其面积的公式为：
　　这一公式虽晚于海伦（Heron）的公式，而秦九韶是独立完成并与之等价的。
　　十一世纪北宋时代，贾宪、刘益推出了一般高次方程的数值解法，提出“增乘开方法”，计算中，随乘随加，简便易行。秦九韶在《数书九章》中，多处使用了增乘开方法，并解决了数字高次方程求正根问题，他所设计的解题步骤，在高等代数学里，称为“秦九韶法”。
　　在西方，到十六世纪，才涉及三次方程，十九世纪才提出与“秦九韶法”类似的算法，却比秦九韶要晚五、六百年。仅就一次同余式组解法及高次方程数值解法而论，可以毫不夸张地说，秦九韶的贡献标志着中世纪世界数学的最高水平。正如著名科学史家萨顿（G。Sarton）评论秦九韶说：“他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”
　　《数书九章》流传至今的版本有：永乐大典本，四库全书本，宜稼堂丛书本，丛书集成本，古今算学丛书本，此外还有北京图书馆所藏王萱龄抄本，北京大学所藏一部清代学人傅抄本。