《则古昔斋算学》主要内容简介及赏析

　　数学论著选集。其中包括《方圆阐幽》一卷，《弧矢启秘》二卷，《对数探原》二卷，《垛积比类》四卷，《四元解》二卷，《麟德术解》三卷，《椭圆正术解》二卷，《椭圆新术》一卷，《椭圆拾遗》一卷，《火器真诀》一卷，《对数尖锥变法解》一卷，《级数回求》一卷，《天算或问》一卷共十三种著述，还有一种版本比上述多三种，即多《重学》二十卷，《圆锥曲线说》三卷，《几何原本》十五卷，共十六种。清李善兰撰。
　　李善兰，原名心兰，字壬叔，号秋纫。生于嘉庆十六年（1811年），卒于光绪八年（1882年）。浙江海宁县硖石镇人。自幼聪颖好学，尤喜爱数学，十岁时，“读书家塾，架上有古《九章》，窃取阅之，以为可不学而能，从此遂好算”。十五岁左右，又学习了《几何原本》前六卷，《测圆海镜》，《勾股割圆记》，《四元玉鉴》等书，并喜好吟诗，其《乍浦行》，《汉奸谣》可为代表作。及长，积极从事著述，后来，与英人伟烈业力（AlexanderWylie），艾约瑟（JosephEdkins）相识，遂合作翻译科学著作多种。晚年，到北京任同文馆算学总教习。
　　在《方圆阐幽》中，李善兰提出了“尖锥术”理论，这是他未曾接触西方微积分学说之前，独立创造发明的，在《方圆阐幽》中，他把“尖锥术”理论概括为十个“当知”，即是概括为十条命题。即：
　　一、“当知西人所谓点、线、面皆不能无体”。“点者，体之小而微者也；线者，体之长而细者也；面者，体之阔而薄者也”。
　　二、“当知体可变为面，面可变为线”。“盈尺之书，由叠纸而得；盈太之绢，曲积丝而成也”。
　　三、“当知诸乘方有线，面，体循环之理”。“方而因之则长，长而因之则匾，匾而因之则复方”。
　　四、“当知诸乘方皆可变为面，并皆可变为线”。
　　五、“当知平，立尖锥之形”。
　　六、“当知诸乘方皆有尖锥”。“三乘以上尖锥之底皆方，惟上四面不作平体而成凹形。乘愈多，则凹愈甚”。
　　七、“当知诸尖锥有积叠之理”。
　　八、“当知诸尖锥之算法：以高乘底为实，本乘方数加一为法，除之，得尖锥积”。
　　九、“当知二乘以上尖锥其所叠之面皆可变为线”。
　　十、“当知诸尖锥既为平面，则可并为一尖锥”。
　　以上十条“当知”，即“尖锥术”的理论，若就某种意义上说，相当于定积分的理论，虽然“尖锥术”的理论有些不够严密，但在西方微积分传入中国之前，李善兰的这种创新精神，是难能可贵的。为了验证“尖锥术”理论的正确性，在《方圆阐幽》中，以圆面积为例，他以“尖锥术”理论推导出圆面积的正确算法。在《弧矢启秘》中，李善兰还结合尖锥术对弧、矢之间各种关系进行了探讨，从而得到一些新的研究成果。并阐述了三角函数及反三角函数的幂级数展开式。在《对数探源》、《对数尖锥变法解》中，他以“尖锥术”理论对于对数进行了探讨，因而他认为：“欧罗巴造（对数）表之人，仅能得其数，未能知其理也。间尝深思得之，叹其精微玄妙，且用于造表，较西人简易万倍。然后知言数者之不可不先得夫理也”。这些话虽说有所夸大，但李善兰的成就在当时已赢得国内、外学者普遍崇敬，如伟烈亚力说：“李氏精思四载，乃得对数理。倘生于纳氏（纳白尔，Napier），盖氏（高斯，Gauss）之时，则祇此一端，即可名闻于世”。
　　《垛积比类》是李善兰一部得意之作，这是一部研究垛积问题的专著。自从“贾宪三角”问世以后，元代朱世杰曾根据贾宪三角推导出不少垛积问题，即高阶等差级数求和问题，李善兰在朱世杰的基础上，把贾宪三角加以改造，从而得出大批垛积问题，于是形成《垛积比类》专著。李善兰说：“今所述，有表、有图、有法，分条别派，详细言之，欲令习算家知垛积之术。于《九章》外，别立一帜，其说自善兰始”。可见，图、表、法，几成为此书的特色，全书共十五张垛积表，并列举了“造表法”。在表中，每一斜行或竖行即组成一垛积问题。而垛积表则是全书的基础，也是重要组成部分。此外，书中“有高（层）求积术”和“有积求高（层）术”，是此书的中心内容。其前术需要导出此垛积之和的算法，后术是前术的逆运算，需要解高次方程以求层数。
　　今以现代数字表示“三角垛表”，举例如下：
　　由上述各表之各行，即可得各种垛积问题。内容丰富，而且无一错误。《垛积比类》一书，不但是李善兰的创新工作，也是组合数学前期的一部杰作。
　　除上述《则古昔斋算学》外，李善兰还与英人伟烈亚力，艾约瑟合作，进行翻译工作。先后翻译了《几何原本》后九卷，《代数学》，《代微积拾级》，《谈天》，《重学》，《奈端数理》，《植物学》等书，并于晚年又写成《考数根法》一书。
　　《则古昔斋算学》现传本有清同治四至六年海宁刊本，清同治六年金陵刊本，清光绪八年江宁刊本，清同文馆刊本等。