《杨辉算法》主要内容简介及赏析

　　《杨辉算法》6卷是《田亩比类乘除捷法》、《通除通变本末》和《续古摘奇算法》3部著作的合称，中国古代重要数学著作。此三部著作成书后即刊刻，今不传。明洪武十一年（1378）古杭勤德书堂刊本即合称《杨辉算法》，亦失传。朝鲜李朝世宗十五年（1433）复刻洪武本。此本传回国内，明末毛晋抄本、清阮元抄本当依此。此本无《续古摘奇算法》卷上。道光年间郁松年嘱宋景昌校勘，刻入《宜稼堂丛书》。《丛书集成（初编）》本即依《宜稼堂丛书》本排印。
　　杨辉，字谦光，钱塘（今浙江省杭州市）人，数学家，宋元数学代表人物之一。生平不详，只知在今江浙一带作过管钱谷的地方官吏，为政清廉。南宋景定二年（1261）著《详解九章算法》12卷（今存半部多），三年（1262）著《日用算法》2卷，咸淳十年（1274）著《乘除通变本末》，德佑元年（1275）著《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷，保存了许多宝贵的宋朝数学史料，并在增乘开方法、垛积术、乘除捷算法、纵横图和数学教育等方面有贡献。
　　《乘除通变本末》3卷原称《乘除通变算宝》，在《续古摘奇算法》中改称此名。它由《算法通变本末》卷上、《乘除通变算宝》卷中、《法算取用本末》卷下构成。卷上首先提出“习算纲目”，是一个从九九表、乘除开始，直到《九章算术》各种方法的详尽数学教学计划，包括学习内容和重点、学习方法、时间安排，由浅入深，循序渐进，着重培养学生的计算能力，是为数学教育史上的重要文献。卷上还有垛积及重因、损乘等乘除捷算法。卷中是全书的中坚，故曾为全书书名，介绍了身外加减法，求一代乘除、九归等捷算法，包括若干口诀。卷下为阐发卷中而作，列出了1300的加因代乘方法，为杨辉与史仲荣共同编集，史亦为钱塘人，生平不详。本书还保存了前人（已佚名）的《指南算法》、《应用算法》的部分资料。
　　《田亩比类乘除捷法》2卷，又称《田亩算法》。先是，北宋刘益（12世纪）撰《议古根源》，以直田演段，在中国数学史上首先引入负系数开方式，提出益积术、减从术解决这类开方式，实冠前古。杨辉认为它“作术逾远，罔究本源，非探赜索隐而莫能知之”，因此“择可作关键题问者，重为详悉著述，推广刘君垂训之意”，遂成是书。它采取法术统率应用问题的形式。卷上可视作《九章算术》方田章的继续，提出了直田、圆田、宛田、环田、圭田、梯田的各种情况的求积公式，将梯田三法的应用扩展到腰鼓田、鼓田、三广田、曲尺田等各种多边形田地的求积。杨辉认为直田法能致诸用，以其他问题进行比类。卷下首先批评了《五曹算经》三个错误题目。第1题指出方五斜七的近似计算只可“施于尺寸之间”，不可“用于百亩之外”；第2题指出已知方田之周，不分长方还是正方，而以正方求积是不妥的；第3题批评了《五曹算经》四不等田的求积法是错误的。卷下接着又引用了刘益《议古根源》的22个题目，是极为宝贵的史料。其中有刘益的形如ax2bxc，与ax2bxc的二次开方式及其求正根的益积术、减从术。还有一个从圆田截一弧田求其弧矢的问题，归结为求5x452x3128x24096的正根，是中国数学史上第一次出现的任意系数的高次方程。杨辉给出这22个问题的图、草，并以其他应用对象的题目进行比类。其图、草对人们理解刘益的益积术、减从术很有裨益。
　　《续古摘奇算法》2卷。杨辉说在刊行《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变本末》、《田亩算法》后，在刘碧涧、丘虚谷所携诸家算法奇题基础上，添摭诸家奇题，续古法草，总为一集，遂成是书。今传本《杨辉算法》中只存卷下，《知不足斋丛书》刊印了2卷，是阮元从《永乐大典》辑录的。卷上有纵横图的造法。古人有河图、洛书之说。汉郑玄注《易纬乾凿度》给出了九宫图，即三阶纵横图。宋儒开始以九宫图附会洛书或河图，给纵横图蒙上了神秘的外衣。此书给出了造3阶、4阶纵横图的一般程序，并给出了510阶的纵横图及各种非标准型纵横图。卷下是各种算术杂题及口诀，编排杂芜。值得注意的是海岛题解，概括出一个重要定理：斜解一长方形为二勾股形，“其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同”。它在出入相补原理中特别有用，《九章算术》和刘徽实际上在使用，贾宪也作过概括，然以此最为完整。