四年级：美妙数学之“牛吃草”问题（0331四）

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　　亲爱的同学，你好！我是朱乐平数学名师工作站的陈通老师，来自杭州市崇文教育集团。
　　今天与你分享的内容是：“牛吃草”问题。
　　美美，你知道“牛吃草”问题是怎么来的吗？
　　牛吃草问题又名牛顿问题，因由牛顿提出而得名。英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？这种类型的题目就叫做牛顿（牛吃草）问题，亦叫做消长问题。
　　那什么是牛吃草问题？
　　典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。
　　怎么样解决“牛吃草”问题呢？
　　以牛顿提出的问题为例：
　　牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间一直有草生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天？
　　我们一起来分析分析吧！
　　首先，由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决牛吃草问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。
　　其次，通过分析确定解题环节前2步：
　　（1）求出每天长草量；
　　（2）求出牧场原有草量。
　　然后，我们通过线段图来进一步分析
　　把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的1022161060，是60头牛（2210）天吃的草，平均分到（2210）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。
　　设一头牛1天吃的草为一份。
　　那么10头牛22天吃草为11022220（份），
　　16头牛10天吃草为11610160（份）
　　（220160）（2210）5（份），说明牧场上一天长出新草5份。
　　220522110（份），说明原有老草110份。
　　求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一部分吃掉新长出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。
　　110（255）5。5（天），就能算出一共多少天。
　　如果想求出有多少牛，那么题目一定会告诉原来的草量，方法就和求草一样。可以先写出求草的算式，再带入数字。
　　天天和美美，听了上面的而分析，你们能总结出“牛吃草”问题的一般方法了吗？
　　牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变量每天（每周）新长出的草的数量。
　　基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
　　基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
　　关键问题：确定两个不变的量。
　　基本公式：
　　生长量（较长时间长时间牛头数较短时间短时间牛头数）（长时间短时间）；
　　原有草量较长时间长时间牛头数较长时间生长量。
　　天天、美美，你们真是太了不起了！小朋友，你是否也能像他们一样独立解决这个问题呢？也可以把你的想法介绍给你的爸爸妈妈听，他们一定会为你竖起大拇指的！
　　小结
　　牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找到另一个不变量每天（每周）新长出的草的数量。
　　同学们，一年之计在于春，一日之计在于晨。光阴似箭、日月如梭，学习总是在每一堂课、每一次思考中积累而成的。
　　认真学习的你，会发现学习中蕴涵着无穷的快乐！今天的学习就到这里，咱们明天再见啦！
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　　制作人：陈通审核人：倪森鹤