【专题突破】二次函数面积系列最值、定值。。。

　　本文介绍三类二次函数大题中常见的面积问题：最值问题、定值问题、等值问题，常用处理方法除了上一篇介绍的面积系列之铅垂法之外，还有等积变换也是常用的思路
　　01：最值问题
　　问题描述
　　如图，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，使得PBC面积最大，求面积最大值及此时P点坐标
　　【分析】除了上文介绍的铅垂法外，将再介绍一种思路：
　　构造平行切线：以BC为底边，过点P向BC作垂线PH交BC于H点，求PBC面积最大，在底边BC确定不变的前提下，PH最大即可
　　过点P作PQBC，当PQ与抛物线相切时，PQ与BC距离最大，即PH最大
　　如何求解P点坐标？
　　（1）求BC解析式：yx3；
　　（2）根据PQBC，可设PQ解析式：
　　（3）根据相切，联立方程：x2x3xm，根的判别式为0，可求m的值
　　（4）根据P点坐标，即可求得PBC面积的最大值
　　但其实即便算出了P点坐标，求PBC面积也还是要费点事
　　不过却为另一类最值问题提供了一种思路：
　　最值衍生
　　如图，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC
　　（1）垂线段最值：过点P作PHCB交CB于H点，求PH最大值及此时P点坐标
　　思路1：所谓PH最大，即PBC面积最大，可用铅垂法求得PBC面积最大值，再除以BC即可得PH最大值
　　思路2：过P点作PQx轴交BC于Q点，
　　则PHQBOC，PH：BOPQ：BC，
　　（k为直线BC的斜率）
　　（2）相关三角形最值：过点P作PHBC交BC于H点，作PQx轴交BC于Q点，求PHQ周长最大值及面积最大值
　　思路：把握住PHQBOC，不管是求周长最大还是面积最大，都可转化为PQ最大值
　　周长、面积均可求
　　2019聊城中考（删减）
　　如图，在平面直角坐标系中，抛物线yaxbxc与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E
　　（1）求抛物线的表达式；
　　（2）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值
　　【分析】
　　（1）yx2x8；
　　（2）根据B、C两点坐标得
　　直线BC解析式：y2x8，
　　设点P坐标为（m，m2m8），
　　则点D坐标为（m，2m8），
　　故线段PDm2m8（2m8）m4m
　　当m2时，PD取到最大值4，
　　2019高新区一模（删减）
　　如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2ax3a（0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC
　　（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）
　　（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当ADE的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；
　　【分析】
　　（1）点A（1，0），点D（4，5a），
　　可得直线l的解析式为：yaxa
　　（2）用铅垂法根据最大面积反求参数a
　　设E点坐标为（m，am2am3a），
　　作EFx轴交AD于F点，
　　则F点坐标为（m，ama），
　　EFama（am2am3a）am3am4a
　　当m32时，EF最大值为25a4
　　ADE面积最大值为12525a4254，
　　解得：a25
　　抛物线解析式为：02：定值问题
　　问题描述
　　如图，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若PBC面积为3，求点P坐标
　　思路1：铅垂法列方程解
　　根据B、C两点坐标得直线BC解析式：yx3，
　　设点P坐标为（m，m2m3），
　　过点P作PQx轴交BC于点Q，
　　则点Q坐标为（m，m3），
　　分类讨论去绝对值解方程即可得m的值
　　思路2：构造等积变形
　　同底等高三角形面积相等
　　取BC作水平宽可知水平宽为3，根据PBC面积为3，可知铅垂高为2，
　　在y轴上取点Q使得CQ2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点
　　当点Q坐标为（0，5）时，
　　PQ解析式为：yx5，
　　联立方程：x2x3x5，解之即可
　　当点Q坐标为（0，1）时，
　　PQ解析式为：yx1，
　　联立方程：x2x3x1，解之即可
　　2019临沂中考（删减）
　　在平面直角坐标系中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yaxbxc（0）经过点A、B
　　（1）求a、b满足的关系式及c的值
　　（2）如图，当a1时，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由
　　【分析】
　　（1）点A（2，0），点B（0，2），
　　代入解析式可得：c2，4a2b20
　　（2）考虑A、B水平距离为2，
　　PAB的面积为1，故对应的铅垂高为1
　　当a1时，可得b1，
　　抛物线解析式为yxx2
　　取点C（0，3）作AB的平行线，
　　其解析式为：yx3，
　　联立方程xx2x3，解得x1，
　　故点P1坐标为（1，2）
　　取点D（0，1）作AB的平行线，其解析式为：yx1，
　　联立方程xx2x1，解得：
　　
　　对应两个P点坐标分别为：
　　
　　同样，等积变形还适合：等积问题
　　03：等值问题
　　问题描述
　　如图，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线上存在一点P使得PBC的面积等于BOC的面积，求点P坐标
　　思路1：铅垂法
　　计算出BOC面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解
　　思路2：构造等积变形
　　过点O作BC的平行线，与抛物线交点即为所求P点，
　　另外作点O关于点C的对称点M，过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点
　　先求直线解析式，再联立方程即可求得P点坐标
　　2019凉山州中考
　　如图，抛物线yaxbxc的图像过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）
　　（1）求抛物线的解析式；
　　（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；
　　（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得PAM面积与PAC面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
　　
　　【分析】
　　（1）抛物线解析式为：yx2x3；
　　（2）将军饮马问题，作点C关于对称轴的对称点C’（2，3），连接AC’，与对称轴交点即为所求P点，可得P点坐标为（1，2），PAC的周长亦可求
　　（3）过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点，联立方程得解；记AP与y轴交点为Q点，作点C关于Q点的对称点点D，过点D作AP的平行线
　　与抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点，
　　联立方程得解
　　写在最后：
　　最值问题用铅垂，
　　定值等值构等积