魔方的原理是什么？

　　（小石头，站在偏数学的角度，来回答这个问题。简单一句话，魔方的原理就是：魔方群在状态集上的作用，具体回答如下：）
　　魔方群
　　整体来看，魔方（Rscube）是一个立方体，一共有六个面（surface），我们分别用U（up上）、D（down下）、F（front前）、B（back后）、L（left左）、R（right右）来标识，不妨规定：U对应黄（yellow）、D对应白（white）、F对应蓝（blue）、B对应绿（green）、L对应橙（orange）、R对应红（red）。
　　令，M｛U，D，F，B，L，R｝，当任意面fM朝向我们时，对f面顺时针旋转90，被定义为魔方的基本操作（baseoperation），同样用f面的面标识来表示这种基本操作。所以M也代表魔方的全部基本操作。
　　对于，任意基本操作g，hM，gh称为g和h的复合（compose），表示先g操作再h操作的复合操作。可以验证，复合满足结合律，这样以来，以M为生成元在复合操作下会生成一个群G（M），称为魔方群（Rubik‘scubegroup）。其中，G的幺元，记为1，表示没有进行任何操作的操作。
　　什么是群？
　　群就是定义了一种运算的集合，其满足：
　　集合对运算封闭，即，对于任意都有（注意：和乘法运算类似，习惯省略不写）；
　　运算有分配律，即，对于任意都有；
　　有幺元，即，存在使得对于任意都有；
　　有逆元，即，对于任意都存在的逆元使得。
　　什么是M生成的群？
　　数学上定义：包括M中元素的最小的群，为M生成的群，记为（M）。实际上，可以对M中任意操作g和h不断的进行复合运算，如果得到的新复合操作gh不在M中，就gh添加到M里，直到M不再增加，这样就得到了（M）。
　　同一基本操作g，连续四次复合就是对g面顺时针旋转360，这相当于没有操作，即，
　　gggg1
　　从而有：
　　gg1
　　也就是说g就是g的逆元g，相当于对g面逆时针旋转90。
　　另外，由gggg1还可以得到：
　　gg1
　　这说明连续两次复合g的逆元就是自己，即，顺时针旋转180相当于逆时针旋转180。
　　魔方状态
　　三阶魔方被细分为33327个立方小块（cubie）。其中，位于中间核心的那个小块不会受到魔方操作的影响到，而对于每个面中心的那个小块魔方操作同样无法改变它的位置，因此魔方操作所能影响到的小块为27（16）20个。
　　这20个受魔方操作作用的小块，又分为两类：
　　位于魔方8个角处的角（corner）块，它们有3个有效小面（facet）；
　　位于魔方12个棱处的棱（edge）块，它们有2个有效小面；
　　由于，每个面的中心块保持位置不变，因此对于打乱的魔方，可以依照中心块来确定魔方的各个面方向。魔方在初始（或还原）状态下，角块和棱块的每个小面和该小面所在面的中心小块颜色保持一致。
　　我们用角块（或棱块）的各小面颜色所对应的标识的小写字母的组合来标识角块（或棱块）：
　　对于角块，三个小面x，y，z，有6种排列方式，这里使用从u或d开始的顺时针排列方式，即，角块标识xyz保证xud并且xyz是顺时针；
　　对于棱块，二个小面x，y，有2种排列方式，这里使用从u或d（f或b）开始的排列方式，即，棱块标识xy保证
　　根据上面的规则，八个角块分别表示为：ufl，urf，ubr，dbl，dlf，dfr，十二个棱块分别表示为：ub，ur，uf，bl，br，fr，db，dr，df，dl
　　注意：六个中心块分别表示为：u，d，f，b，l，r，核心块一般用o表示。
　　更进一步，对于角块xyz，我们用xyz表示x小面，yzx表示y小面，zxy表示z小面，对于棱块xy，我们用xy表示x小面，用yx表示y小面，于是，我们就得到了带有标注的8312248个小面。将，全体小面记为T，则任意操作gG就变成了T上的一种置换（位置变换）。以F操作为例，
　　观察发现，小面fur经过F操作置换为小面flu，即，F（fur）flu，另有F（flu）fdl、F（fdl）frd、F（frd）flu，于是在F操作下，以上4个置换形成了一个置换圈：
　　我们称其为轮换（cycle），记为（furflufdlfrd）。
　　参与轮换的小面可以是任意多个，值得注意的是：任何一个小面a的轮换（a）相当于不做置换，有，1（）（a）。
　　当然，实际上F操作包含多个轮换，将这些轮换以复合的方式，聚合在一起，就是定义了一个完整F操作：
　　F（furflufdlfrd）（fuflfdfr）（rfuufllfddfr）（rfuflfdf）（rdfurflufdlf）
　　同理，我们可以将其它魔方操作定义为轮换的复合。
　　注意：为了方便，我们也可以用148的正整数，来替代上面S中对小面的编码。
　　T上的所有置换函数，在函数复合下，组成置换群S。但是，因为角块的面永远置换不到棱块的面，所以G仅仅是S的子群。
　　用离散的小面来记录魔方的状态过于粗犷，重新审视魔方，我们会得到如下结果：
　　每个立方块都是一个整体，在任何魔方的操作下，组成它的小面不会分离；
　　每个立方块，有两种状态信息：位置和方向；
　　角块和棱块在魔法操作下相互独立，即，角块永远不可能转到棱块上，反之亦然。
　　基于，以上分析，我们首先，分别对角块和棱块进行定位（location）：
　　角块：ufl1，urf2，ubr3，ulb4；dbl5，dlf6，dfr7，drb8；
　　棱块：ub1，ur2，uf3，ul4；bl5，br6，fr7，fl8；db9，dr10，df11，dl12；
　　令C｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，这里包含所有角块的位置信息，可以很容易将基本操作对角块位置的改变写成轮换形式：
　　U（1234），
　　D（5876），
　　F（1672），
　　B（3854），
　　L（1456），
　　R（2783）
　　显然，G作用在C上是置换群S的子群。
　　同理，令E｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12｝，基本操作对于棱块位置的改变写成轮换形式为：
　　U（1432），
　　D（9101112），
　　F（38117），
　　B（1695），
　　L（45128），
　　R（27106）
　　同样，G作用在E上是置换群S的子群。
　　然后，我们分别对角块和棱块进行定向（orientation）：
　　角块：ud为定向面，xyz012；
　　棱块：udfb为定向面，xy01；
　　对于保持定向信息，我们只需要定义，定位位置当前立方块的定向面对应的编号就可以了。而对于基本操作，对定向的改变，我们也只需要记录，原始状态下，经过基本操作后，各个定位位置，的定向面对应的编号就可以了。如果，原始状态下，即，定向面的编号为0，经过某操作，到新位置后，定向面编号为n，则原来定向面的编号为m，经同样操作，到新位置后，定向面编号就是（nm）modk，对于角块k3，对于棱块k2。0不旋转，1逆时针旋转，2顺时针旋转。
　　令，V（0，0，0，0，0，0，0，0）表示角块的所有定向，则基本操作为对角块定向的改变为：
　　U（0，0，0，0，0，0，0，0），
　　D（0，0，0，0，0，0，0，0），
　　F（1，2，0，0，0，2，1，0），
　　B（0，0，1，2，1，0，0，2），
　　L（2，0，0，1，2，1，0，0），
　　R（0，1，2，0，0，0，2，1）
　　对于每一位来说都是Z，总共8个Z就是Z，但是考虑在到7个角块固定的情况下，我们无法单独旋转剩下的那个，因此G在V上的作用实际上是Z。
　　令，W（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）表示棱块的所有定向，则基本操作为对棱块定向的改变为：
　　U（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0），
　　D（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0），
　　F（0，0，1，0，0，0，1，1，0，0，1，0），
　　B（1，0，0，0，1，1，0，0，1，0，0，0），
　　L（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0），
　　R（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0）
　　同理，G在W上的作用是Z。
　　当以上编号混合在一起使用时，为了区分，分别用c、e、v、w作为角块定位、棱块定位、角块定向、棱块定向编号的前缀，并将编号写成下标。例如：
　　F（cccc）（eeee）（v，v，v，v，v，v，v，v）（w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w）
　　辅助工具
　　在进行下一步分析之前，我们先编写一点JavaScript代码，以帮助我们，对G中的操作进行复合。
　　魔方状态（state）的格式为：
　　state：〔〔角块定位〕，〔棱块定位〕，〔角块定向〕，棱块定向〕
　　声明魔方初始状态s如下：
　　魔方操作（operation）的格式为：
　　〔〔〔角块轮换〕，。。。〕，〔〔棱块轮换〕，。。。〕，〔角块旋转〕，〔棱块旋转〕〕
　　基本操作声明如下：
　　声明，在给定状态上执行魔方操作的函数：
　　声明，从给定状态中分析出魔方操作的函数：
　　定义复合函数：
　　为了输出简洁，当所有角块（或，棱块）不发生旋转时，用一对空括号表示。
　　最后，我们对基本操作进行必要的扩展：
　　换位子和共轭
　　对于任意两个魔方操作g，hG，如果，g和h的复合满足交换律，则：
　　ghhg
　　等式两边右乘gh，有：
　　ghghhgghh1hhh1
　　如果不满足交换律，则：
　　ghgh1
　　令，〔g，h〕ghgh，称其为换位子（commutator）。
　　一般来说，魔方相对面，如：F和B，U和D，L和R之间是可以交换的，即，
　　〔F，B〕〔U，D〕〔L，R〕1
　　所有，换位子之间是可以交换的，即：
　　〔〔g，h〕〔g，h〕〕1
　　关于，换位子有性质1：如果g和h两种操作，只共同影响一个小块k，其中g为nk，h为mk，则有〔g，h〕（k，n，m），〔h，g〕（k，m，n）。
　　例如，若g（ccc），h（c，cc），则kc，nc，mc，于是有：
　　即，〔g，h〕（ccc），〔h，g〕（ccc）。
　　性质1推论：如果g和h两种操作，共同影响的小块，刚好在g和h中分别形成轮换和，则有〔g，h〕〔，〕。
　　例如：若g（cccc）（cc），h（cccc）（cc），则它们的共同影响小块c、c、c、c，分别在g和h中，组成轮转（cccc）和（cccc），于是有：
　　即，〔g，h〕〔（cccc），（cccc）〕。
　　魔方群中还有另外一种称为共轭（conjugate）的复合方式：对于任何操作g，hG，称ghg为h关于g的共轭。
　　共轭具有性质2：如果h（abc）而g将A，B，C分别映射到a，b，c，则有ghg（ABC）。
　　例如：若h（ccc），g（cc）（cc）（cc），则有：
　　即，ghg（ccc）。
　　魔方公式
　　好了！现在利用上面的知识，就可以开始构造魔方公式了。
　　寻找角块的换位公式
　　我们发现B关于R的共轭RB（R）RBR：
　　和F：
　　仅有c共同影响，于是它们满足性质1，有：
　　即，〔RBR，F〕RBRF（RBR）（F）RBRFRBRF（c1，c7，c8）。
　　注意：因为（ab）（ba）abbaa1aaa1，所以（ab）ba。
　　这里c，c，c不共面，考虑R：
　　刚好将11，28，37，于是根据性质2，有：
　　开头的RRRRRR，于是最终得到公式C：
　　即，
　　R〔RBR，F〕RRBRFRBRFR（ccc）
　　寻找棱块的换位公式
　　我们定义一种新的操作M：面对F面，顺指针旋转F和B面之间那个中间的面M。M操作只改变棱块：
　　我们发现M（或M）与U：
　　共同影响e，因此根据性质1，〔M，U〕构成三轮换：
　　即，〔M，U〕MUMU（eee）。
　　其实，M就相当于FB的复合，只不过，在执行M后，还做了R面朝向了U的动作。
　　这时执行U相当于执行R，于是翻译为基本操作〔M，U〕FBRBFU，验证：
　　最后，根据性质2，利用RU将这个三轮换，换到同一个面上：
　　倒数第2，3项合并后，就得到了公式D：
　　RU〔M，U〕URRUFBRBFUR（eee）
　　寻找角块的旋转公式
　　观察D关于RF的共轭RFDFR：
　　与U：
　　它们，有共同的轮转（cc），于是根据性质1推论，有：
　　〔U，RFDFR〕〔（cc），（cc）〕（cc）（cc）（c，c）（c，c）（cc）1（c，c）（cc）（c，c）1
　　这样以来，〔U，RFDFR〕就没有了位置变换，仅仅剩下的就是旋转：
　　于是，我们就得到公式E：
　　〔U，RFDFR〕URFDFRURFDFR（v，v，v，v，v，v，v，v）；
　　公式E分别对c和c进行逆时针和顺时针旋转。
　　寻找棱块的旋转公式
　　M和U分别执行4次会恢复，那么MU执行四次，即，（MU）是什么呢？
　　我们神奇的发现：
　　（MU）FBLFBDFBRFBU（w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w）
　　即，（MU）只对e，e，e0，e旋转；
　　同样，（MU）：
　　（MU）FBLFBDFBRFBU（w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w）
　　即，（MU）只对e，e3，e0，e旋转；
　　因为棱块旋转2次就等于没有旋转，于是（MU）和（MU）的复合结果只对e和e进行旋转，这就是公式F：
　　（MU）（MU）（w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w）
　　可以验证：
　　暴力搜索
　　两轮换称为对换，在魔方群中单独的对换操作，是不可能的因此三轮换，成立公式构造的关键，除了上面利用性质1来找寻三轮换的方法为，我们还可以用计算机，进行暴力搜索。例如：在2个R，3个R，3个U，2个U的全排列中，进行三轮换搜索：
　　我们得到：
　　即，RURURURURU（eee）。然后根据性质2，利用R将这个三轮换，换到同一个面上：
　　同样，将开头的5个R合并，就得到和公式D类似的公式：
　　RURURURURUR（eee）
　　对于旋转来说，以上的分析，最少只能的道两个角块（或棱块）的旋转，我们无法做到仅仅旋转一个角块（或棱块）。
　　上面，给定的公式都保证角块（或棱块）的旋转时，所有小块位置不变，但实际上，不一定需要这么严格，我们可以允许与旋转小块同处一个面内小块的位置变换。通过暴力搜索，我们得到了公式B：
　　即，
　　RURURUR（cc）（cc）（eee）（v，v，v，v，v，v，v，v）；
　　以及，公式A：
　　即，
　　FRURUF（cc）（cc）（eee）（v，v，v，v，v，v，v，v）（w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w，w）；
　　公式AB都是只改变顶层位置的操作。
　　其实，公式A就是F〔R，U〕F，其中〔R，U〕：
　　〔R，U〕的功效是（eee），即，将顶层棱块ee和中层棱块e轮换，但副作用（cc）变动了底层。不过幸运的是，我们找到了〔F，U〕：
　　〔F，U〕的功效和〔R，U〕类似，而其副作也是（cc）。因为（cc）（cc）1，所以〔U，F〕的刚好可以抵消〔R，U〕的副作用。于是，我们就得到了公式A的附带公式：
　　〔R，U〕〔F，U〕和〔F，U〕〔R，U〕
　　功效分别是（eeeee）和（eeeee），即，将顶层的四个棱块与中层的棱块e轮转。
　　在魔方数学原理的指导下，通过这种计算机暴力搜索的方式，我们还可以找到很多有用的公式，目前紧紧OLL公式就有57个，而更多的复杂公式几百上千。
　　众所周知的”七步公式还原法“（层先法）就包括了从这些公式中选出来的一组基础公式（包括上面提到的公式ABCD）。（七步公式还原法，已经有条友在回答中详细介绍过了，我这里就不累述了。）
　　不知不觉，已经写了5千余字了。关于魔法群还有很多更深入的内容，例如：上帝数等，由于篇幅有限，这里不能一一展开，以后有机会再说。
　　（小石头，数学水平有限，出错在所难免，希望各位老师和同学批评指正。）
　　（补充20191030）
　　我将辅助工具的代码放在这里，以便想要自己试验的条友复制粘贴。
　　运行环境：chrome浏览器；
　　文件名：rc。html，包含代码：
　　consts0〔〔1，2，3，4，5，6，7，8〕，
　　〔1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12〕，
　　〔0，0，0，0，0，0，0，0〕，
　　〔0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0〕〕；
　　constU〔〔〔1，2，3，4〕〕，〔〔1，4，3，2〕〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0〕〕；
　　constD〔〔〔5，8，7，6〕〕，〔〔9，10，11，12〕〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0〕〕；
　　constF〔〔〔1，6，7，2〕〕，〔〔3，8，11，7〕〕，〔1，2，0，0，0，2，1，0〕，〔0，0，1，0，0，0，1，1，0，0，1，0〕〕；
　　constB〔〔〔3，8，5，4〕〕，〔〔1，6，9，5〕〕，〔0，0，1，2，1，0，0，2〕，〔1，0，0，0，1，1，0，0，1，0，0，0〕〕；
　　constL〔〔〔1，4，5，6〕〕，〔〔4，5，12，8〕〕，〔2，0，0，1，2，1，0，0〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0〕〕；
　　constR〔〔〔2，7，8，3〕〕，〔〔2，7，10，6〕〕，〔0，1，2，0，0，0，2，1〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0〕〕；
　　functionperform（state，。。。operations）｛
　　for（vargofoperations）｛
　　varnewstate〔g〔0〕。reduce（（l，c）permute（l，c），state〔0〕），
　　g〔1〕。reduce（（l，c）permute（l，c），state〔1〕）〕；
　　newstate〔2〕turn（state〔0〕，state〔2〕，newstate〔0〕，g〔2〕，3）；
　　newstate〔3〕turn（state〔1〕，state〔3〕，newstate〔1〕，g〔3〕，2）；
　　
　　｝
　　
　　｝
　　functionpermute（location，cycle）｛
　　varnewlocationArray。from（location）；
　　for（vari0；iarr。reduce（（s，x）s
　　（x〔0〕instanceofArray？〔（x。map（yy。join（））。join（）（））〕：
　　（x。length0？〔〕：（x。join（）））），）
　　。replace（（0，0，0，0，0，0，0，0），（））
　　。replace（（0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0），（））；
　　constc（。。。ops）str（compose（。。。ops））；
　　constUUcompose（U，U），UUUcompose（U，U，U）；
　　constDDcompose（D，D），DDDcompose（D，D，D）；
　　constFFcompose（F，F），FFFcompose（F，F，F）；
　　constBBcompose（B，B），BBBcompose（B，B，B）；
　　constLLcompose（L，L），LLLcompose（L，L，L）；
　　constRRcompose（R，R），RRRcompose（R，R，R）；
　　constcycle（。。。x）〔〔x〕，〔〕，s0〔2〕，s0〔3〕〕；
　　constM〔〔〕，〔〔2，4，12，10〕〕，〔0，0，0，0，0，0，0，0〕，〔0，1，0，1，0，0，0，0，0，1，0，1〕〕；
　　constMMMcompose（M，M，M）；
　　functionperm（arr，callback，index）｛
　　varswap（a，i，j，t）（ta〔i〕，a〔i〕a〔j〕，a〔j〕t）；
　　indexindex0；
　　if（index
　　文件名：rc2。html，包含代码：
　　functionperm（arr，callback，index）｛varswap（a，i，j，t）（ta〔i〕，a〔i〕a〔j〕，a〔j〕t）；indexindex0；if（index｛vargcompose（。。。x）；console。log（）；if（g〔0〕。length0g〔1〕。length1g〔1〕〔0〕。length3g〔2〕。toString（）s0〔2〕。toString（）g〔3〕。toString（）s0〔3〕。toString（））｛console。log（x。reduce（（y，z）yz。tag，））；｝｝）；