皮耶德费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等 据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年 果然，数学搞得好的都是装x的一把好手 言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点 问题描述 在ABC内找一点P，使得PAPBPC最小 【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等 阿哈哈哈，此处一个也用不上！ 其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！ 算了算了，不墨迹了，直接报答案了： 若点P满足PABBPCCPA120，则PAPBPC值最小，P点称为该三角形的费马点 接下来讨论3个问题： （1）如何作三角形的费马点？（是什么） （2）为什么是这个点？（为什么） （3）费马点怎么考？（怎么办） 01：如何作三角形的费马点？ 是什么？ 问题要从初一学到的全等说起： （1）如图，分别以ABC中的AB、AC为边，作等边ABD、等边ACE （2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：ADCABE （3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点（到这一步其实就可以了） （4）以BC为边作等边BCF，连接AF，必过点P，有PABBPCCPA120 在图三的模型里有结论： （1）BPD60； （2）连接AP，AP平分DPE 有这两个结论便足以说明PABBPCCPA120 原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！ 但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是BAC 此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？ 不不不，这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和 所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了 02：为什么是这个点？ 为什么？ 为什么P点满足PABBPCCPA120，PAPBPC值就会最小呢？ 归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！ 在上图3中，如下有ADCABE，可得：CDBE 类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AFBECD 巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！ 更巧的是，其长度便是我们要求的PAPBPC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！ 接下来才是真正的证明： 考虑到APB120，APE60，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQAP，则APQ是等边三角形 APQ、ACE均为等边三角形，且共顶点A，故APCAQE，PCQE 以上两步分别转化PAPQ，PCQE，故PAPBPCPBPQQEBE 没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边APQ，同样有APCAQE，转化PAPQ，PCQE， 显然，PAPBPCPBPQQEBE 还剩下第3个问题！ 如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！ 03：费马点怎么考？ 怎么办？ 直接考，要不然还能怎么考？ 看看今年2019武汉中考填空最后一题： 问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PAPCPE 问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75，MG4倍根号2，点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是 【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！ 如图，以MG为边作等边MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到MNG三个顶点的距离和的最小值（此处不再证明） 过点H作HQNM交NM延长线于Q点， 根据NMG75，GMH60， 可得HMQ45， MHQ是等腰直角三角形， MQHQ4， NH2倍根号29 练习1 如图，在ABC中，ACB90，ABAC1，P是ABC内一点，求PAPBPC的最小值 【分析】如图，以AD为边构造等边ACD，连接BD，BD的长即为PAPBPC的最小值至于点P的位置？这不重要！ 如何求BD？考虑到ABC和ACD都是特殊的三角形，过点D作DHBA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BDBHDH即可得出结果 练习2 如图，已知矩形ABCD，AB4，BC6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MAMDME的最小值为 【分析】依然构造60旋转，将三条折线段转化为一条直线段 分别以AD、AM为边构造等边ADF、等边AMG，连接FG， 易证AMDAGF，MDGF MEMAMDMEEGGF 过F作FHBC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值 来源：有一点数学，作者：刘岳，如存图片音视频作者来源等使用或标注有误，请随时联系微信ABCshuxue处理。
那些跑得慢的孩子，往往跑得更远！教育的特殊性在于它是一个自然的、缓慢的过程在一个孩子应该学走路的年纪如果你强制性地教他奔跑可以预见的结……斯坦福大学：自卑和自信的孩子，都来自什么家庭？斯坦福大学的心理学教授，通过对上百个家庭的孩子进行调研，发现那些长大后消极自卑的孩子，他们的家庭教育环境有着惊人的相似点，孩子们长大后的悲剧往往是从小不合理的家庭教育造成的。如……当17岁的女儿说要和男朋友过夜，父亲的回答太棒了01《完美陌生人》里，有一个这样的情节。17岁的索菲娅赴男友的约会。这次约会非比一般，因为可能会发生性关系。而她还是处女。她向……孩子穿衣颜色和性格丨颜色是内心世界的一个投影妈妈们都喜欢给孩子穿什么颜色的衣服？红色的？蓝色的？还是黑白系列的？其实你给孩子穿什么颜色的衣服对Ta的性格也有一定的影响哦！nbsp……我是不是一个合格的母亲？送给焦虑的家长01身边很多新妈妈，小学生的妈妈，青春期孩子的妈妈都会焦虑一个问题，那就是：我是不是一个合格的母亲？那天在一节亲自教育课堂上，王女士忧虑的表示，……学会赞赏你的孩子，他会更优秀！01赞赏孩子对孩子有哪些帮助，我多的家长都还不知道。很多家长都还在觉得高要求才能出人才。所以他们对待孩子的方式就是高压严管，从来不会给孩子赞赏、……研究发现：这14类孩子远比常人更聪明1、远血缘通婚者的孩子有资料为证：父母均为本地人，平均智商为102。45；父母为同省异地者，平均为106。17；异省婚配者，则高达109。35。至于弱智儿发生率以及……父母给子女最好的童年礼物安全感童年的安全感是今生幸福的宝藏，如果想让你的孩子真正幸福，让他在成长的每一步都有取之不尽的宝藏，请给他一个温暖自由的童年。这种安全感是否在童年被满足，将决定着孩子一生关于幸福的潜……《小猪佩奇》道破“中国式家庭教育”的八大痛点！近两年最火的一只小粉猪，无疑就是小猪佩奇。掌声送给社会人。《小猪佩奇》为什么能赢得亿万中国孩子们的喜爱？一句评价足可概括：《小猪佩奇》提供了一种最让人认同的家……妈妈相信：“我的学渣儿子，是来报恩的！”01我曾经反思过很久。孩子爸是985的工科博士，我是985硕士，我在最佳生育年龄27岁生下了儿子，怀孕是我们计划之中的，那天没有喝酒还放着轻音乐……杨幂刘恺威离婚：我最心疼那个孩子孩子需要的不是一个冷冰冰的家，而是一份真实而温暖的爱。昨晚，杨幂刘恺威正式宣布离婚！消息一出，微博瞬间炸了。2014年1月，杨幂和刘恺威的婚礼曾轰动一时，同年……心理学家：父母的这5种行为，正在培养一个低情商的孩子“家庭生活是我们学习情绪的第一个学校。”情商之父丹尼尔。戈尔曼根据丹尼尔对情商的定义，低情商的孩子有这些表现：不能克制自己的冲动没有延迟满足的能力没有激……