圆周率与滑块碰撞次数之间的奇妙关系

　　昨天看到一篇文章《这一切要从碰撞的滑块和量子搜索讲起》，里面说到圆周率与滑块碰撞次数有种奇妙的关系：
　　在光滑的平面上放着两个1kg的滑块，在它们的左侧有一面坚固且不可移动的墙。两个滑块一个离墙近一些，一个远一些，而且后者正在向前者滑去。可以想象，接下来将会产生许多次碰撞。假设每次碰撞时都没有动能损失，整个过程将像下面图中展示的那样：
　　图1
　　右侧的滑块碰撞左侧的滑块，并将全部动量转移给左侧滑块，左侧滑块碰到墙反弹回来，再与右侧滑块发生碰撞并将动量全部转移过去。期间左侧滑块一共发生了3次碰撞。如果我们增大右侧滑块的质量，会发现一些更有趣的事情：将右侧滑块质量换成100kg，那每次碰撞时只会有一小部分动量发生转移，将会碰撞31次；如果将右侧滑块质量换成10000kg，那整个过程将发生314次碰撞。
　　不断100倍100倍地增加右侧滑块质量，你会发现神奇的现象：总碰撞次数与每一位的数字越来越接近。
　　图2
　　我也感觉很神奇，于是做了一下计算，计算结果支持这个说法。
　　图3
　　设滑块a和滑块b的质量分别为ma和mb，速度为va和vb。速度随着碰撞而改变，设两个滑块间发生第m次碰撞后的速度分别为va，m和vb，m。
　　由于碰撞过程中没有动能损失，因此滑块a碰撞左侧墙壁后，速度将大小不变，方向相反。根据动量守恒原理，可列下式：
　　mava，m1mbvb，m1mava，mmbvb，m。。。。。。。
　　因为碰撞过程动能无损失，可列下式：
　　mava，m12mbvb，m12mava，m2mbvb，m2。。
　　设mbKma（图3中K为100），由式、可得（计算过程略）：
　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
　　当vb，m为负，且va，vb，m时，两个滑块将不再发生碰撞，此时如果va，0，则滑块a还将与墙壁碰撞一次。将式、写入Excel表格，可以快速得到结果：碰撞，此时如果va，m
　　表1
　　K1
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0：
　　1：
　　1：
　　1：
　　0：
　　2：
　　0：
　　1
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞3次。
　　2m1
　　表2
　　K100
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0：
　　1：
　　1：
　　1。98019802
　　0。98019802
　　2：
　　3。881972356
　　0。921576316
　　3：
　　5。630005212
　　0。82645654
　　4：
　　7。155067565
　　0。698605813
　　5：
　　8。396760906
　　0。543087528
　　6：
　　9。30590926
　　0。366060826
　　7：
　　9。846506752
　　0。174536666
　　8：
　　9。997143581
　　0。023899837
　　9：
　　9。751853931
　　0。221389812
　　10：
　　9。120352245
　　0。410111874
　　11：
　　8。127648489
　　0。582591881
　　12：
　　6。813057665
　　0。731998943
　　13：
　　5。228642775
　　0。852415947
　　14：
　　3。437152923
　　0。939073904
　　15：
　　1。509538203
　　0。988540816
　　16：
　　0。477860208
　　0。998857596
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞31次。
　　2m1
　　表3
　　K10000
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0：
　　1：
　　1：
　　1。99980002
　　0。99980002
　　2：
　　3。9988002
　　0。99920016
　　3：
　　5。99620102
　　0。99820066
　　4：
　　7。991203599
　　0。996801919
　　5：
　　9。983010016
　　0。995004498
　　6：
　　11。97082363
　　0。992809115
　　7：
　　13。95384939
　　0。990216647
　　8：
　　15。93129417
　　0。987228133
　　9：
　　17。90236707
　　0。983844767
　　10：
　　19。86627974
　　0。980067902
　　11：
　　21。82224669
　　0。97589905
　　12：
　　23。76948562
　　0。971339876
　　13：
　　25。7072177
　　0。966392206
　　14：
　　27。63466792
　　0。961058017
　　15：
　　29。55106539
　　0。955339444
　　。。。
　　。。。
　　。。。
　　155：
　　4。168389998
　　0。999130849
　　156：
　　2。169494513
　　0。999764637
　　157：
　　0。169731316
　　0。99999856
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞314次。
　　（2m1）1
　　表4
　　K1000000
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0：
　　1：
　　1：
　　1。999998
　　0。999998
　　2：
　　3。999988
　　0。999992
　　3：
　　5。999962
　　0。999982
　　4：
　　7。999912
　　0。999968
　　5：
　　9。999830001
　　0。99995
　　6：
　　11。999708
　　0。999928001
　　7：
　　13。999538
　　0。999902002
　　8：
　　15。99931201
　　0。999872003
　　9：
　　17。99902202
　　0。999838004
　　10：
　　19。99866003
　　0。999800007
　　11：
　　21。99821804
　　0。99975801
　　12：
　　23。99768807
　　0。999712014
　　13：
　　25。9970621
　　0。999662019
　　14：
　　27。99633215
　　0。999608026
　　15：
　　29。99549021
　　0。999550034
　　。。。
　　。。。
　　。。。
　　1569：
　　3。593691854
　　0。999993543
　　1570：
　　1。593699581
　　0。99999873
　　1571：
　　0。406299066
　　0。999999917
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞3141次。
　　2m1
　　以表3中100vb为纵坐标，va为横坐标，可得下面半圆图形：
　　图4
　　先写到这里，有时间再分析为什么圆周率与滑块碰撞次数之间有这个奇妙关系。