最值问题之费马点

　　黄鹤楼送孟浩然之广陵
　　李白
　　故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。
　　孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。
　　一首伤感、唯美而豪放的送别诗，道尽谪仙人李白对朋友的依依不舍之情。话说当时，李白在安陆颓废十年，然后又跑到武昌送别忘年交孟浩然到扬州去，如果他要到安陆、武昌、扬州三地都去一趟，从哪个地方出发最方便呢？
　　这就牵扯出了数学里比较古老而且极其有趣的一个问题：费马点问题！
　　基本问题
　　ABC中每一内角都小于120，在ABC内求一点P，使PAPBPC值最小
　　解题障碍：一动点到三定点距离，3条折线长度和最短，不知如何入手。
　　问题动态情境：
　　解题之道：折转直
　　解题之术：作旋转
　　解题之本：我们知道PA、PB、PC三条线段是极度分散的，利用两点间线段最短或者垂线段最短都不行，那首先要想办法将分散的线段集中起来，这样才能进行数学分析。
　　我们可以利用旋转的方法可以把线段进行转移。注意是旋转60，
　　动态解释：（具体细节自行推导）（此题还可以利用手拉手模型去理解）
　　如何做出这个点P呢？
　　两边各做一个等边三角形，然后连接即可得到：
　　也可以利用外接圆得到：
　　注意这里还有一个有趣结论：
　　当三角形的每一个内角都小于120时，所求的点P对三角形每边的张角都是120。
　　母题生长
　　问题：若三角形有一内角不小于120
　　如图，ABC中B大于120，在ABC内求一点P，使PAPBPC值最小
　　问题：如果给线段进行加权（来自几何数学）
　　（1）ABC中每一内角都小于120，在ABC内用尺规画出一点P，使2PAPBPC的值最小，并请说明理由。
　　（2）ABC中每一内角都小于120，在ABC内用尺规画出一点P，使的值最小，并请说明理由。
　　（3）ABC中每一内角都小于120，在ABC内用尺规画出一点P，使3PA4PB5PC的值最小，并请说明理由。
　　问题：若换成背景为四边形呢？即如何求一个点到不共线的四个点距离和最短。（对角线交点）
　　如图，请找出一点P，使PAPBPCPD的值最小。
　　问题：在三角形外是否存在一点到三顶点距离和最小？
　　好像没有
　　问题：模型与三角形
　　问题：模型与四边形（来自攀峰随笔）
　　如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC6，ABC150，求APBPPD的最小值
　　变式2。如图，已知四个城市A、B、C、D的位置为正方形的四个顶点，现要建设高速公路连结A、B、C、D四个城市，请你设计出最短的高速公路的线路图。
　　（注：不计连接点的个数，使得总路程和最小。）
　　答案：如果只有一个点就是对角线交点，如果有两个点那就是对角线形成三角形的费马点。
　　问题：模型与五边形
　　中考真题
　　2019武汉中考第16题
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