阿罗约的不可能性定理

　　阿罗意识到，所谓形成社会福利函数，就是在已知社会所有成员的个人偏好次序的情况下，通过一定的程序，把各种各样的个人偏好次序归结为单一的社会偏好次序。这是否总能做到呢？阿罗用较高深的数学证明，在能被一般人接受的条件下，这是不可能做到的，下面举例加以说明
　　考虑这样一个社会，其中包括三个人，分别用1、2和3代表。这三个人在三种社会状态a、b和c之间进行选择。假定每一个人在各种社会状态上的偏好都是严格的，即有人在任意两个状态之间感到无差异。每个人的偏好都具有“传递性”，即如果他偏好甚于b，偏好b又基于，那么，他必然会偏好a甚于c。在这里，我们把某个人的某个特定的偏好次序记为（a，b，c），i1，2，3、表示第i个人偏好a甚于b、偏好b又甚于c。意味着下述三个成对的偏好次序，即（a，b）。、（a，c）、（b，c）。一个特定的社会偏好次序表示为〔a，b，c〕、它意味着社会偏好a甚于b、偏好又甚于c即包括三个成对的社会好次序：〔a，b〕、〔a，c〕、〔b，c〕。现在假定单个人的偏好次序分別为（a，b，c）、（b，C，a）2（c，a，b）2，并按照这些偏好对每一对可能的社会状态进行投票；社会的偏好次序则按“多数规则”从这些单个人投票中得出。
　　首先对a和b两种社会状态进行投票。根据上面假定的单个人偏好次序，投票结果应为：
　　（a，b）1、（b，a）2、（a，b）
　　于是，按大多数规则，社会的偏好次序就是〔a，b〕
　　其次考虑社会状态b和c。我们有：
　　（b，c）1、（b，c）2、（c，b）3
　　社会偏好次序为〔b，c〕。
　　最后是a和c。各个个人的偏好次序为
　　（a，c）1、（c，a）2、（c，a）
　　社会偏好次序为〔c，a
　　于是，整个投票结果是：社会偏好a甚于b、偏好b甚于c、偏好c甚于a！显而易见，所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，因为它缺乏次序的基本要求，即“传递性”。如果具有“传递性”，那么，当社会偏好a甚于b、偏好b又甚于c时，就应偏好a甚于c。因此，在上述给定的具有“传递性”的单个人偏好类型中，按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。换句话说，此时不存在社会福利函数。
　　上面是就某一种特定的个人偏好类型，即相互冲突的（a，b，c）、（b，c，a）2和（c，a，D）说明投票的大多数规则不能形成社会的偏好次序。这当然不是说，在任何情况下都不能从个人偏好次序形成社会偏好次序。恰好相反，如果我们重新给定个人的偏好类型，或者改变大多数规则，则完全有可能形成社会的偏好次序。例如，如果我们用“独裁”规则代替大多数规则，则独裁者的个人偏好就成为“社会”的偏好；又例如，如果我们用完全一致的个人偏好类型代替上述相互冲突的类型，例如，假设个人偏好为：
　　（a，b，c）、（a，b，）2、（a，b，c）2
　　则按照大多数规则亦可形成确定的社会偏好次序〔a，b，c〕
　　但是，上述两种情况存在很大局限性。“独裁”规则可以从任何的个人偏好类型中形成“社会”的偏好次序，但这样形成的“社会”偏好次序并不能真正地反映社会的偏好。假定个人偏好类型完全一致也是完全不现实的。社会福利函数应当适用于所有类型的个人偏好情况，面不应仅仅适用于完全一致的情况。但是，就一般情况而言，我们有阿罗的不可能性定理。
　　在非独裁的情况下，不可能存在有适用于所有个人偏好类型的社会福利函数