考拉 兹猜想 选取任意一个正整数。如果这个数字是偶数，除以2；如果它是奇数，乘以3再加1。现在，用你得到的新数字继续按上述规则处理。如此循环下去，你的数字最终都会变为1。 如选取的是6，根据上述规则，得出序列为6，3，10，5，16，8，4，2，1。如选取的是11，根据上述规则，得出序列为11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。 这就是考拉兹猜想，是德国汉堡大学的学生洛塔尔考拉兹在20世纪30年代提出的。数学家们用了很多数字进行测试，发现没有哪个数字最终不会变为1的。但问题是，到现在还没人能证明考拉兹猜想。也许，有一些非常大的数字经过处理后，最终会逐渐趋向于无穷大，或者一些数字会被困在某个循环中，从而无法变为1。但是，从来没有人能够找出这样的反例。 移动 沙发问题 假设你在搬家，想把你的沙发搬到新的公寓里。问题是，走廊有个拐角，你必须想办法把你的沙发弄过去。如果沙发很小，那么就不是问题了。如果沙发很大的话，那么它可能会卡在拐角处。如果你是一个数学家，你可能就会提出这个问题：可通过走廊拐角的最大的沙发是什么样的？它不必是一个矩形的沙发，它可以是任意形状。 上面就是移动沙发问题的基本内容。为了方便回答，这个问题还做了这些精简：整个问题只发生在二维空间中，拐角是90度，走廊的宽度为1。那么，可以通过走廊拐角的最大的二维图形是什么样子的？ 可以通过走廊拐角的最大的二维图形的面积，还被称为“沙发常数”。然而，没人知道确切地知道这个二维沙发能有多大，数学家们只是知道一些相当大的沙发可以通过去，另一些更大的沙发却通不过去。当前的研究表明，沙发常数的数值应该在2。2195和2。8284之间。 完美 的立方体问题 记得勾股定理不？直角三角形的两条直角边长为a和b，斜边为c，那么a2bc。如果三条边长度都是正整数，那么这三个数被称为一组勾股数。例如，（3，4，5）就是一组勾股数。 现在，让我们把这个想法扩展到三维空间中。在上面的立方体图示中，a、b、c代表着这个立方体的三条边，g代表着体对角线。那么，根据勾股定理，你会得到abcg。 我们的目标，就是找到a、b、c和g都是整数的立方体。也就是说，找到三维空间下的勾股数。数学家们进行了很多次尝试，但是到现在也没有找到一个立方体，其三条边和体对角线都是整数的。但是，他们也没能力证明这样的立方体是不存在的。所以，寻找这种完美的立方体的任务仍在继续。 内接 正方形问题 在纸上画出一条闭合的线。这个线圈不一定是个圆圈，可以是任何形状，但线的起点和终点必须重合，而且线与线之间不能有交叉。在这个线圈里，你可以画出一个正方形，其四个顶点都处在线圈上。1911年，一位德国数学家提出了内接正方形问题：任何一个二维的闭合线圈，是否都至少有一个内接的正方形，其四个顶点都处在线圈上？ 数学家们已经证明，在任何一个二维的闭合线圈，你都可以画出内接的三角形或矩形。但是，要想证明能画出正方形，就变得困难起来。到目前为止，还没有人能解决此问题。 幸福 结局问题 这个问题之所以叫做“幸福结局问题”，是因为它导致了匈牙利数学家乔治塞凯赖什和他的美女同学爱丝特克莱因共谐连理。这个问题是从这个规律开始的： 在一张纸上随机地画出5个点，但要求其中任意3点不共线，那么不管你怎么画，你就总能找到其中的4个点，连接起来能构成一个凸四边形4个内角都不大于180度的四边形。 这个是关于凸四边形的规律。后来，数学家们发现，要想画出一个凸五边形，你至少得需要9个点。而凸六边形，得需要17个点。至于凸七边形以及其他的凸多边形，数学家们就搞不清楚究竟至少需要多少个点了。 是否存在一个公式，可以告诉我们至少需要多少个点就能画出任意一种凸多边形呢？数学家猜测，公式可能是M12N2，其中M是点的个数，N是凸多边形的边数。但到目前为止，数学家们只是证明了M是不小于12N2的，还无法证明它们是相等的。所以，幸福结局问题仍悬而未决。
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