在本文中：解不含常数项的三次方程使用因数表求整数解使用判别式方法视频 三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是 ｛displaystyleax｛3｝bx｛2｝cxd0｝ 。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。 方法 1：解不含常数项的三次方程 1：检查三次方程，看是否包含常数项 d｛displaystyled｝ 。三次方程的形式为 ｛displaystyleax｛3｝bx｛2｝cxd0｝ 。但是，唯一必要的关键项是 ｛displaystylex｛3｝｝ ，这意味着三次方程中未必会出现其他项。 如果方程中包含常数项 ｛displaystyled｝ ，那么你就必须使用其它解法。 如果 ｛displaystylea0｝ ，那么这个方程就不是三次方程。 2：提取方程的公因式 x｛displaystylex｝ 。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量 ｛displaystylex｝ 。也就是说，可以提取方程的公因式 ｛displaystylex｝ 来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为 ｛displaystylex（ax｛2｝bxc）｝ 。 例如，假设我们一开始要解的方程是 ｛displaystyle3x｛3｝2x｛2｝14x0｝ 。 提取方程的公因式 ｛displaystylex｝ ，得到 ｛displaystylex（3x｛2｝2x14）0｝ 。 3：如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式 ｛displaystylex｝ 后得到的二次方程 ｛displaystyleax｛2｝bxc｝ 都能被因式分解。例如，如果要解 ｛displaystylex｛3｝5x｛2｝14x0｝ ，你可以： 提取公因式 ｛displaystylex｝ ： ｛displaystylex（x｛2｝5x14）0｝ 将括号内的二次方程因式分解： ｛displaystylex（x7）（x2）0｝ 设各因式等于 ｛displaystyle0｝ 。得到方程的解 ｛displaystylex0，x7，x2｝ 。 4：如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将 ｛displaystylea｝ 、 ｛displaystyleb｝ 、 ｛displaystylec｝ 的值代入二次公式（ ｛displaystyle｛frac｛bpm｛sqrt｛b｛2｝4ac｝｝｝｛2a｝｝｝ ）中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。 示例中，将 ｛displaystylea｝ 、 ｛displaystyleb｝ 和 ｛displaystylec｝ 的值 ｛displaystyle3｝ 、 ｛displaystyle2｝ 和 ｛displaystyle14｝ 分别代入到以下二次公式： ｛displaystyle｛frac｛bpm｛sqrt｛b｛2｝4ac｝｝｝｛2a｝｝｝ ｛displaystyle｛frac｛（2）pm｛sqrt｛（（2）｛2｝4（3）（14）｝｝｝｛2（3）｝｝｝ ｛displaystyle｛frac｛2pm｛sqrt｛4（12）（14）｝｝｝｛6｝｝｝ ｛displaystyle｛frac｛2pm｛sqrt｛（4168｝｝｝｛6｝｝｝ ｛displaystyle｛frac｛2pm｛sqrt｛164｝｝｝｛6｝｝｝ 解1： ｛displaystyle｛frac｛2｛sqrt｛164｝｝｝｛6｝｝｝ ｛displaystyle｛frac｛212。8i｝｛6｝｝｝ 解2： ｛displaystyle｛frac｛212。8i｝｛6｝｝｝ 5：零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中“二次”部分求出的解。对于可以用“因式分解”方法求解的方程，第三个解一定为 ｛displaystyle0｝ 。 将方程分解为包含两个因式的形式 ｛displaystylex（ax｛2｝bxc）0｝ ，左边的因式是变量 ｛displaystylex｝ ，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于 ｛displaystyle0｝ ，则整个方程等于 ｛displaystyle0｝ 。 因此，使括号内的二次因式等于 ｛displaystyle0｝ 的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于 ｛displaystyle0｝ 的 ｛displaystyle0｝ 本身，也是三次方程的解。 方法 2：使用因数表求整数解 1：确保三次方程有一个 d｛displaystyled｝ 值不等于零的常数项。如果形式为 ｛displaystyleax｛3｝bx｛2｝cxd0｝ 的方程拥有一个不等于零的 ｛displaystyled｝ 值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。 以方程 ｛displaystyle2x｛3｝9x｛2｝13x6｝ 为例。这个方程中，要让等号的右边等于 ｛displaystyle0｝ ，你需要两边都加 ｛displaystyle6｝ 。 得到新的方程 ｛displaystyle2x｛3｝9x｛2｝13x60｝ 。由于 ｛displaystyled6｝ ，你无法使用二次方程方法。 2：找出 a｛displaystylea｝ 和 d｛displaystyled｝ 的因数。要解三次方程，我们需要先关注 ｛displaystylex｛3｝｝ 项的系数 ｛displaystylea｝ 以及方程最后的常数项 ｛displaystyled｝ ，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。 例如，由于你可以用 ｛displaystyle6times1｝ 和 ｛displaystyle2times3｝ 得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。 例题中， ｛displaystylea2｝ ，而 ｛displaystyled6｝ 。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。 3：用 a｛displaystylea｝ 的因数除以 d｛displaystyled｝ 的因数。将 ｛displaystylea｝ 的各因数除以 ｛displaystyled｝ 的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。 例题中，用 ｛displaystylea｝ 的因数1和2除以 ｛displaystyled｝ 的因数1、2、3、6，得到： ｛displaystyle1｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛2｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛3｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛6｝｝｝ ， ｛displaystyle2｝ 和 ｛displaystyle｛frac｛2｝｛3｝｝｝ 。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整： ｛displaystyle1｝ ， ｛displaystyle1｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛2｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛2｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛3｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛3｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛6｝｝｝ ， ｛displaystyle｛frac｛1｝｛6｝｝｝ ， ｛displaystyle2｝ ， ｛displaystyle2｝ ， ｛displaystyle｛frac｛2｝｛3｝｝｝ 和 ｛displaystyle｛frac｛2｝｛3｝｝｝ 。三次方程的整数解就在其中。 4：手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于 ｛displaystyle0｝ ，进而求出方程的解。例如，如果将 ｛displaystyle1｝ 代入方程，可以得到： ｛displaystyle2（1）｛3｝9（1）｛2｝13（1）6｝ ，即 ｛displaystyle29136｝ ，结果不等于 ｛displaystyle0｝ 。因此，使用得到的下一个值。 如果将 ｛displaystyle1｝ 代入方程，得到 ｛displaystyle（2）9（13）6｝ ，结果等于 ｛displaystyle0｝ 。这意味着 ｛displaystyle1｝ 是方程的一个整数解。 5：使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以 ｛displaystylea｝ 、 ｛displaystyleb｝ 、 ｛displaystylec｝ 和 ｛displaystyled｝ 。如果得到余数 ｛displaystyle0｝ ，那么这个值就是三次方程的解。 综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解： 129136 276 2760 由于得到的最终余数为 ｛displaystyle0｝ ，由此可知， ｛displaystyle1｝ 是三次方程的一个整数解。 方法 3：使用判别式方法 1：写下 a｛displaystylea｝ 、 b｛displaystyleb｝ 、 c｛displaystylec｝ 和 d｛displaystyled｝ 的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下 ｛displaystylea｝ 、 ｛displaystyleb｝ 、 ｛displaystylec｝ 和 ｛displaystyled｝ 的值，免得之后混淆。 对于例题 ｛displaystylex｛3｝3x｛2｝3x1｝ ，写下 ｛displaystylea1｝ 、 ｛displaystyleb3｝ 、 ｛displaystylec3｝ 和 ｛displaystyled1｝ 。注意，如果有 ｛displaystylex｝ 变量前没有系数，这代表它的系数为 ｛displaystyle1｝ 。 2：使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式 ｛displaystyleDelta｛0｝b｛2｝3ac｝ 中，求出第一个重要数值，即判别式零 ｛displaystyleDelta｛0｝｝ 。 判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是（ ｛displaystyleb｛2｝4ac｝ ）。 例题中的计算过程如下： ｛displaystyleb｛2｝3ac｝ ｛displaystyle（3）｛2｝3（1）（3）｝ ｛displaystyle93（1）（3）｝ ｛displaystyle990Delta｛0｝｝ 3：然后，计算 12b39abc27a2d｛displaystyleDelta｛1｝2b｛3｝9abc27a｛2｝d｝ 。你需要的下一个重要数值是判别式 ｛displaystyle1｝ ，即 ｛displaystyleDelta｛1｝｝ ，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与 ｛displaystyleDelta｛0｝｝ 基本相同。将适当的值代入到公式 ｛displaystyle2b｛3｝9abc27a｛2｝d｝ 中，得到 ｛displaystyleDelta｛1｝｝ 的值。 例题中的计算过程如下： ｛displaystyle2（3）｛3｝9（1）（3）（3）27（1）｛2｝（1）｝ ｛displaystyle2（27）9（9）27（1）｝ ｛displaystyle548127｝ ｛displaystyle81810Delta｛1｝｝ 4：计算： ｛displaystyleDelta（Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝）div27a｛2｝｝ 。然后，我们会使用 ｛displaystyleDelta｛0｝｝ 和 ｛displaystyleDelta｛1｝｝ 的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。 三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。 例题中，由于 ｛displaystyleDelta｛0｝｝ 和 ｛displaystyleDelta｛1｝｝ 都等于 ｛displaystyle0｝ ，所以 ｛displaystyleDelta｝ 的计算相对简单。计算过程如下： ｛displaystyle（Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝）div（27a｛2｝）｝ ｛displaystyle（（0）｛2｝4（0）｛3｝）div（27（1）｛2｝）｝ ｛displaystyle00div27｝ ｛displaystyle0Delta｝ ，所以方程有一个或两个解。 5：计算： ｛displaystyleC｛3｝｛sqrt｛left（｛sqrt｛Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝｝｝Delta｛1｝right）div2｝｝｝ 。最后一个需要计算的重要数值是 ｛displaystyleC｝ 。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入 ｛displaystyleDelta｛1｝｝ 和 ｛displaystyleDelta｛0｝｝ 。 例题中， ｛displaystyleC｝ 的计算过程如下： ｛displaystyle｛3｝｛sqrt｛｛sqrt｛（Delta｛1｝｛2｝4Delta｛0｝｛3｝）Delta｛1｝｝｝div2｝｝｝ ｛displaystyle｛3｝｛sqrt｛｛sqrt｛（0｛2｝4（0）｛3｝）（0）｝｝div2｝｝｝ ｛displaystyle｛3｝｛sqrt｛｛sqrt｛（00）0｝｝div2｝｝｝ ｛displaystyle0C｝ 6：使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式 ｛displaystyle（bu｛n｝CDelta｛0｝div（u｛n｝C））div3a｝ 计算，其中 ｛displaystyleu（1｛sqrt｛3｝｝）div2｝ ，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。 你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。 例如，将1代入到 ｛displaystylex｛3｝3x｛2｝3x1｝ 中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。 QuickSummary Summary：SolveaCubicEquation
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