前一阵子，我在头条上看到有人在证明根号下1根号下1（无穷）繁分数11分之一（无穷）【注：题目不好输入，就用文字描述了】这个命题，一下子就对循环感了兴趣，开始研究了起来。当时的我看了他的证明后，感觉不可思议，极力的告诉自己那是错的，还找来一些理由反驳证明者的观点（他的证明方法是对的，但却步骤不全，有些式子没有说明原因），事情就这样过去了。
　　几天后，我又看到有人在解一道与上述题目类似的题目（是一道方程题，内容为根号下4根号下4根号下4根号下4xx），解题者直接设根号下4xx，解出x的值就完了。这再一次激起了我对这类问题的思考，就在我找到理由想要反驳时，突然发现当x根号下4x时，根号下4x就等于根号下4根号下4x（等量代换），于是循环开始了。这对我来说就好像是打开了新世界的大门，进入了新的天地一样，我的疑团被解开了，突然明白了那两个看似不可能相等的式子相等的原因了。然后，我就对该类循环进行了拓展。
　　当x根号下ax（a为正实数）时，根号下ax根号下a根号下a根号下a（循环）就等于1与根号下14a的和与2的商。当ybdy（b，d为正实数）时，bdy繁分数bb分之d（循环）b与根号下b平方4d的和与2的商。拓展后，新的问题产生了，这无限循环真的等于后面的值吗？会不会如13与0。3循环的关系那般是约等于呢？（权值定理证明1大于0。9循环【十进制满十进一，小数点后面的9没有进位到个位，说明后面的任一个位上的9都没满10】，故此13也是大于0。3循环的）为了解决这个问题，我又思考了许久，得出了相等的结论，下面是对其相等的分析。
　　我们先看13与0。3循环的关系，13之所以不等于0。3循环（关系为约等于，约等于不能等同于等于）是因为13在算1除以3的时候，是除不尽的（除不尽就说明有变故），虽然1是其产生循环的源头，但是其并不能说明13等于0。3循环，而x根号下ax和ybdy（a，b，d均为正实数）作为产生循环的源头就不一样了，因为这里的x和y都是固定值且循环是在等式的基础上自循环的，所以这里的无限循环是等于后面的值的。循环真奇妙啊！

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