导数中端点效应的用法了解一下

　　在《高中数学复习笔记》里面导数专题9。一类特殊取值范围问题速算方法这个小专题，成书一年半，这个小专题既没增添过内容也没删除过，里面介绍了一种求参数取值范围的速算方法，关于此类方法为什么可以这么用，也没有给出过解析，原因是这个方法就是一个bug，用在小题中可以（因为看不出你的过程），用在大题中即便是答案正确，也会扣除相当一部分的分数，但是这个方法在大题中可以用来检验答案的正确性，前几天正好有人问到了这个知识点，今天就跟大家一起聊聊这个话题端点效应。
　　首先举个例子：一个含有参数a的函数f（x）满足在区间〔1，3〕上0恒成立，求参数a的取值范围，我们常见的做法是要么分类讨论，要么分离参数，这种做法是根据条件求得参数准确的取值范围，但是如果f（x）足够复杂，无论是分类讨论还是分离参数都将面临着复杂的计算量，因此我们可以试图将参数的范围缩小，在这个已经缩小的范围内或证明这个范围就是满足条件的范围或从这个范围内再找出符合条件的范围，这种将未知的参数范围通过试值法的途径变为已知，再将已知的范围作为条件，反推结论成立的方法就是运用了端点效应，但是这种方法不严谨，范围的大小取决于你选取的值，有可能出现范围过大或遗漏的情况，但是在题目过于复杂的情况下，这种方法是切实可行的，只要将必要性和充分性分别证明即可。
　　以下是端点效应的三种情况：
　　情况一：
　　思路：函数在整个区间上符合条件，则肯定在端点处也符合条件，这种情况是对应函数在两个端点处（也可以只有一个端点，另一边是无穷）的函数值依旧带有参数，因此结合两个不等关系即可将参数的范围解出来，但是解出来的范围并不一定是符合题目要求的范围，最后还要讲这个范围当做已知进行验证，或从这个范围内再一次缩小范围才可满足条件。
　　注意：为什么要选取端点，能不能选取区间内部的两个数？能，但是没必要，这种case就是因为端点值带有参数所存在的，即把若。。。后面的东西当做已知，因此我们只需要安排好端点值符合条件即可，没必要管中间的数字。
　　注意上述题目，函数在1，e两处的函数值均含有参数，因此将端点值分别带入满足不等式，解出参数a的范围（一个值也是范围），接下来在证明当ae时，f（x）在所给的区间内符合双向不等式即可，注意如果非得用这种方法，充分性和必要性均要证明，这种方法的好处在于如果直接求参数范围，则需要多参数进行讨论，但是如果参数是已知的范围或者某个值，这就变成了最单纯的函数求最值问题，无需讨论，简单直接，但是也要做好被扣分准备。
　　注意上述过程中，若将参数a1作为已知条件，如何证明在此范围内不等式成立？可以按照常规求最值的方法，求导或者二阶导，因为知道参数的范围，因此一阶导数或二阶导数的正负一般是可判断的，但是都不如直接利用放缩法将参数去掉来的直接，关于放缩法证明不等式成立，在之前讲过很多，放缩不是万能的，有可能放缩结果变成f（x）F（x）1，如果出现，则说明放缩失当，需要调整放缩方法。
　　注意上述过程中求的的参数范围有两端，区别于前两个题目，这个范围并不一定都符合要求，当在范围1中很明显能看出a0时符合要求，有同学提出虽然在01时存在不符合要求的点，但是不能因为01中存在不符合要求的点就将整个范围直接排除，这种做法极有可能将正确的范围缩小，但是注意题目是恒成立问题，即在任意区间内都成立，而参数的范围影响函数符合要求区间的变化，因此参数的范围也要符合任意性原则，所以只要区间内出现不符合要求的参数的值则整个区间都不符合要求。
　　情况二：
　　解析：端点效应应用了函数极限的原理，在高等数学中有邻域的概念，若不等关系在区间上恒成立，则在端点处也要成立，如果在区间〔m，n〕上满足f（m）0，在根据函数趋势可知在范围〔m，mk〕范围内必定满足f（x）单调递增，当k足够小时，这种在某个范围内导数0恒成立既可以看成在m点处（m）0恒成立，同理若f（n）0，则在区间〔nk，n〕必定满足导函数0，当k足够小时，即可当成（n）0，注意这种情况的使用的前提条件。
　　上述将未知参数范围已知之后如何证明不等式成立，用的是基础的求导求最值，有人问这么做在高考中能给分吗？接下来看2016年四川理科高考中那个超级经典的题目：
　　以上的答案是高考中的标准答案，可知，答案中其实用到的也是端点效应，先求出a的范围，再证明此范围下符合不等式要求，但是四川卷变为全国卷之后，全国卷尚未出现此类问题，所以今后给不给分不好确定。
　　情况三：
　　解析：当端点处的函数值和导数值均为零时，以左端点为例，f（m）0，要保证不等式成立，则需（m）0，这个在上面说过，但是此处（m）0，则意味着当xm时，函数（x）取得最小值0且存在区间〔m，mk〕使得（x）单调递增，因此需要满足（x）0，右端点处原理类似。
　　注意上题中当参数范围已知后如何证明不等式成立时用到了放缩法
　　总结：端点效应仅仅可以作为理解内容，帮助你确定常规方法答案的正确性，在选填压轴题目中如果符合要求时可以在很短时间内求出答案，最后奉劝广大师生：别走邪路，好好学习此类问题的常规做法，有些看上去高大上的做法就像七伤拳一样，伤敌不成反伤己。
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