所谓动点型问题是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。下文主要针对多动点问题进行分析讲解。 解题策略 解决此类与运动、变化有关的问题，重在运动中分析，变化中求解。 首先，要把握运动规律，先固定一动点，然后寻求运动中的特殊位置，在动中求静，在静中探求动的一般规律。 其次，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的情况分类讨论，较为精确地将每种情况一一呈现出来。 最后，要学会将动态问题静态化，即将动态情境化为几个静态的情境，从中寻找两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多情况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类讨论、数形结合、化归、相似等数学思想。 经典考题 1。如图1，在锐角ABC中，AB5，AC42，ACB45 （1）计算：求BC的长； （2）操作：将图1中的ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1如图2，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数； （3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值 【解析】（1）如图1中，作AHBC于H解直角三角形求出AH，CH，BH即可解决问题BCBHCH347 （2）利用旋转的性质解决问题即可求CC1A90 （3）本题我们发现有两个运动状态：旋转运动：ABC绕着点B旋转；点P在线段AC上运动，旋转后的对应点为P 逐步分析，以静制动，我们先让点P安静点不要乱动！ 然后可知在ABC旋转的过程中，点P的轨迹是以B为圆心，BP长为半径的一个圆（如图1）。 如图2，过点B作BDAC，D为垂足， ABC为锐角三角形，点D在线段AC上， 在RtBCD中，BDBCsin45722， 此时容易分析出，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1BP1BEBDBE72252； 当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1BCBE527192 2如图，菱形ABCD中，A60，AB3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PEPF的最小值是 【分析】本题更厉害，直接三个动点，这题虽然动点较多，但是仍然可延续上面一题的思想，先固定，后放开 本题我们先固定点P，那么当点P固定时，PEPF的最小值自然是PE、PF同时取得最小时的情况，此时PF的最小值为PBBF，PE的最小值为PAAE，所以PEPF的最小值为PBPA3 此时，点E、F两个动点转化到A、B两个定点上去了，问题就变为了求PAPB将军饮马问题，通过这种方式从而求得解题思路！ 【解答】：作A点关于直线DC的对称点A，连接BD，DA， 可得AADC，则BAA90，故A30， 则ABA60，ADNADN60， ABAD，BAD60， ABD是等边三角形，ADB60， ADBADA180， A，D，B在一条直线上， 由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PEPF最小， 菱形ABCD中，A60， ABAD，则ABD是等边三角形，BDABAD3， A、B的半径分别为2和1，PE1，DF2， PEPF的最小值是3 故答案为：3 变式如图，菱形ABCD中，A60，AB6，A、B的半径分别为4和2，P、E、F分别是边CD、A和B上的动点，则PEPF的最大值是（） A6312B6316C18D6 【分析】如图，连接PB，延长PB交B于F，连接PA交A于E，要求PEPF的最大值，可以转化为求PAPB的最大值通过寻找特殊点，发现当点P与点C重合时，PA、PB同时取得最大值，此时PAPB的值最大 【解答】：如图，连接PB，延长PB交B于F，连接PA交A于E， 要求PEPF的最大值，可以转化为求PAPB的最大值 点P在线段CD上， 当点P与点C重合时，PA最大，（因为ACDADC，所以，点C是小角点）； 当点P与点C或者点D重合时，PB最大（因为ACDADC，所以，点C、D均是小角点）所以，根据、可知，当点P与点C重合时，PA、PB同时取得最大值，此时PAPB的值最大， 在ACD中，ADC120，ADDC6， AC263263， PEPF的最大值ACAEBCBF6312 故选：A 3在矩形ABCD中，AB4，AD3，先将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原 （1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图1） 当点P与点A重合时，DEF，当点E与点A重合时，DEF 当点E在AB上时，点F在DC上时（如图2），若AP72，求四边形EPFD的周长 （2）若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M（如图3），当AMDE时，请求出线段AE的长度 （3）若点P落在矩形的内部（如图4），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值 【解析】（1）当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，可得结论；当点E与点A重合时，如图2，则EF平分DAB，故答案为90，45； 如图3中，证明DOFPOE（ASA）得DFPE，根据一组对边平行且相等得：四边形DEPF是平行四边形，加上对角线互相垂直可得DEPF为菱形，当AP72时，设菱形的边长为x，根据勾股定理列方程得：32（72x）2x2，求出x8528，所以菱形的周长857； （2）如图3中，连接EM，设AEx 由折叠知PEDE，CDBEPM90，CDCP4， AMDEA90EMEM， RtAEMRtPME（HL），AEPMx， CM4x，BMABAMABDE4（3x）1x， 在RtBCM中，BMBCCM， 3（1x）（4x）， 解得，x0。6AE0。6 （3）在本问中，存在E、F两个动点，两个动点一起运动时，研究问题相对较麻烦，所以常常先固定一个动点，然后在该点固定的背景下来研究另外一个动点，依次达到减小思维量、简化问题的功能！ 比如可先固定点E不动，让点F先动，于是可知，点P的轨迹在以点E为圆心，ED为半径的圆上运动，发现随着点F越靠近点C，AP越小，所以可知，当点F运动到与点C重合时，AP最小。 当点F与点C重合时，本题就变得常规了，此时点P在以C（F）为圆心，CD（即4）为半径的圆上运动，所以当A、P、C共线时，AP最小，此时AP541。 初中阶段的同学，可以从三角形三边关系去分析，也可以作图操作探究出点F在点C位置时点P靠点A最近。因此有如此求解过程。 如图41中，连接PF，AP，AC PAFAFP，FDFP， PAFAFD，此时PA的最小值FAFD， （FAFD）（ACCD）FADFACDFCFFACFAC0， ACCDFAFD， 当F与C重合时，FAFD的值最小，由折叠得：CDPC4， 由勾股定理得：AC5， PAACPC， 当P，A，C共线时，AP有最小值，AP541， 则AP的最小值是1 4。如图是一副三角板，其中BE90，AC45，F30，ACEF2把两个三角板ABC和DEF叠放在一起（如图），且使三角板DEF的直角顶点E与三角板ABC的斜边中点O重合，DE和OC重合现将三角板DEF绕O点顺时针旋转（旋转角满足条件：090），四边形BGEH是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图） （1）当旋转角度为45时，EG和AB之间的数量关系为 （2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角的度数 （3）在三角板DEF绕O点旋转的过程中，在DF上是否存在一点P，使得APC90，若存在，请利用直尺和圆规在DF上画出这个点，并说明理由，若不存在，请说明理由 （4）在射线EF上取一点M，过M作DF的平行线交射线ED于点N（如图），若直线MN上始终存在两个点P、Q，使得APCAQC90，求EM的取值范围 【分析】（1）旋转角度为45时，EG是ABC的中位线，根据三角形的中位线定理即可得出EG和AB之间的数量关系 （2）当DF经过三角板ABC的顶点B，求旋转角的度数，即求ECD的度数，通过作辅助线可以得到P点与B点重合，从而得到答案 （3）实际上是圆的切线的性质及判定的运用 （4）题意告诉我们存在的点要在AC为直径的圆上，所以MN就应该是圆的弦从而得到EM应小于AC的一半 【解答】：（1）AB2EG （2）过点E作EPDF，垂足是P， B90，AC45，AC2 EB1 FED90，F30，EF2 EP1 当DF经过三角板ABC的顶点B时，点P与点B重合， 此时PED30，CED60 即旋转角为60； （3）以E为圆心，EC为半径画圆，与DF相切于点P，P点即为所求的点 FED90，F30，EF2，EP1。P点在E上， AC是E直径，APC90； （4）以E为圆心，EC为半径画圆 当EM2时，直线MN和E交于P、Q两点，APCAQC90 反思总结 “让动点先不要动”，主要出现在多重动态问题当中，体现出的是一种解题思维，即对问题逐步分析，逐步解决，然后各个击破！这种思想在生活与学习当中也可运用！也是正如华罗庚先生所言，遇到困难的问题，学会退，退到最简单的情况，以获得启发，进而找到解决问题的正确途径。 当我们上学时，在学校往往由于所学科目太多，作业太多，来不及处理学习中的问题时，可以让一些问题先安静点，先解决掉重要的、紧急的问题动起来，然后再去解决次要问题！ 当工作时遇见一大堆事无法处理的时候，先抛开一些问题，先去解决重要的、较紧急的事，解决后再去解决次要的问题！人脑CPU就那么点处理量，如果顾忌的东西越多，那么往往只会得不偿失。
21世纪学校里可支持课堂多样性的7种方法为什么孩子要上学？大多数人会说学习的三个R：阅读、写作和算术。但是，一种促进课堂多样性的学校文化向学生传授了更为重要的知识：如何在每个人都独一无二的社会中生活和工作。在一……教师要“懒”一点教师“懒”一点，并不是要求教师“袖手旁观”，而是要求教师必须精心筹划，认真思索，教师“懒”一点，学生“勤”一点，这正是“教师教得轻松而学生学得愉快”的最佳外显。那我们应该怎样去……浅论作文模式很多同学对作文模式很反感，认为那是一种公式化、程式化的东西，缺少创新，因而反对使用。我觉得这是一种误解。nbs……优秀老师推荐：小学语文朗读训练的技巧和形式一、小学生朗读的作用、小学阶段，在不断的朗读过程中，同学们通过不断地与课本接触，不断地与字词见面，能够较为牢固地掌握正确的发音，流利的阅读，增强语感。、在我们的教科……分享8个十分厉害的电子书、教材、课件相关资。。。分享8个十分厉害的电子书、教材、课件相关资源下载的网站。1、全国图书馆联盟适用：大学生、研究生、博士生、社会人士全国图书馆联盟是一个非营利的公益性机构，所有读……程红兵：面向未来，学校教育创新的主要路径课程不仅仅是几个学科，要让学生面向丰富多彩生活；不仅仅是知识系统，应该让学生关注复杂社会系统；不仅仅是解题能力，通过课程要提高学生问题解决能力；不仅仅是提高学生学科能力，要以此……2018春季开学典礼领导讲话稿2018春季开学典礼领导讲话稿（一）老师们同学们：新的学期迎着温暖的春风向我们走来了，大家新年好！xx中学是一所百年老校，更是一所优秀的百年名校。一百多年间，……作文教学感悟教学感悟第四讲怎样选择材料一、选材的意义写作时，选材应像蜜蜂那样勤于博采，在占有了一定数量的材料后，又要善于提取精华，从而写出具有新意的佳……在线考试钉钉云课堂，实现智能批改作业试卷。。。钉钉的“云课堂”的主要功能是在线学习，管理员或发布者发布文章、视频、系列课等内容供大家学习，后台可以统计学习时长，并且进行排名。对于学校来说，它的考试功能是非常强大并且便捷的。……全国又延期开学！“开学”不是opensch。。。今天小编看到了网上一个热搜开学。相信不少师生都被这个特殊的“开学”方式折磨得很痛苦，下面这个表情包足以表达他们的心情。那到底，开学的英文是不是openschool？……南康区赞贤小学20192020学年度第二学期德育。。。南康区赞贤小学20192020学年度第二学期德育工作计划思路决定出路，定位决定地位，格局决定结局。立足赞小独特的校园文化，依据我校师生的实际状况，学校大队部确定下学期德育……典型的学生思维之退缩不去主动交际围观我的高能朋友圈上一期给大家介绍了典型的学生思维之一一切都要等准备”充分“了再去做。今天跟大家介绍第二个典型的学生思维跟同事打交道时发现“有来无往“就退缩了不再去主动交……