阿氏圆应用方法、题目汇总（阿波罗尼斯圆）

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　　说起阿氏圆，很多老师都不陌生了，之前写过一些文，画过一些图，录过一些视频，今天就来汇总一下阿氏圆的应用题型！
　　我们还是先从新介绍一下阿氏圆，全称阿波罗尼斯圆，首先要有一个线段，端点为AB，到AB两点的距离之比为定值（不为1，为1那不就是中垂线吗）的所有点组成阿氏圆，这个轨迹最先由阿波罗尼斯发现故名之。
　　看下图：
　　下文为方便称呼，称AB这样的线段为阿圆的线段，称圆为线段的阿圆
　　这个圆就是到AB距离比值为1：2的阿圆，用初中的知识解释就是存在恒成立的子母性相似！
　　注意小细节：
　　1。阿圆圆心与AB共线
　　2。到哪个点近，阿圆圆心就在哪一侧，
　　3。圆心绝不会在线段AB内
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　　（交互式）阿圆子母相似模型
　　记住子母相似的独特线段比值，共有线段平方等于另两线段积。
　　既然比值为定值，因此阿圆在问题中最常用到的就是转化线段（倍数关系）。
　　除了倍数关系之外，阿圆还有一个不太为人知的性质，恒有角平分线EF。
　　这一点可以通过第二性质的逆证明！
　　刚说了阿圆最长用于，线段转化（倍数）。学习任何模型，首先我们要学会识别模型，也就是这个模型有什么特点，阿圆问题（转化线段类）的特点：
　　1。题中有一个圆（就是阿圆），圆上有一个动点
　　2。此动点到两个点的距离，其中一段加权（加系数）
　　3。被转化的线段的端点（非动点），就是阿圆线段的一个端点，关键就是找到阿圆线段的另一个端点。即可完成转化。
　　一般这样的题就是用阿圆做，阿圆做不了基本初中也就没法做了！
　　当然两个线段都有系数，是可以转化为仅一个带系数的。一个带系数也可以转化为另一个带系数的。方法就是提公因式法，提系数。
　　应用题一：
　　本题还有一种方法：
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　　加权的线段差最值问题
　　看题：
　　这题就是加权线段差，熟悉最值问题其实思路不难想，我们之前做过加权线段和的几个模型：
　　（点击下面查看）
　　胡不归（乌鸦坐飞机）问题与折射原理光行最速。
　　阿波罗尼斯圆介绍以及与角平分线
　　交互式探究！动图图解三角形费马点加权费马点问题
　　费马点胡不归？都可以做的一道题
　　加权线段和一般有胡不归（三角比转化系数），阿氏圆（相似转化系数），加权费马点（固定三角形转化系数）。所以基本就是这几种转化方向！先看方法一，图里有圆，自然联想阿氏圆！！使用阿氏圆转化比值：
　　方法一：
　　想办法让这个圆成为阿氏圆，以圆心为顶点构造子母相似即可！
　　EA中点为F，蓝蓝相似，这样构造圆就是线段FB的阿氏圆，圆上任意一点到FB距离比为1：2。
　　
　　再构造一个：
　　AG二分之根2，红红相似，圆就是CG的阿氏圆，圆上任意一点到CG的距离比都是？？？
　　然后线段都转化到了PG，PF，利用三边关系，共线得最大值！
　　应用题二：
　　系数在PD，但是不一定必须转化PD，因为转化出根2PD需要找到一点E，P到点E距离是到D距离的根2倍，也就是动点到D近一些，到E远一些，看图中的圆的位置这是不可能的！
　　那就转化PC，要找到阿圆线段的另一个端点一定在OC上，该点命名为M，则OM方OP乘OC，易得OM长，M的位置确定了，剩下就好说了！
　　应用题3：
　　有了前两题的铺垫，这题就不细说了，大家自己试试吧！
　　就直接转化PB：
　　应用题四：
　　这是一个证明，也算一个模型：
　　也就是产生了阿圆，利用了角平分线的结论
　　这个模型怎么记呢，就是，圆中做任意弦，做其垂径，过弦端点切线，切线与径交点，这个交点和垂径垂足连成此圆的阿圆线段。（看关键词）
　　应用题五：
　　这是2017哈尔滨中考真题：
　　（点击详情）
　　中考真的不考阿波罗尼奥斯圆吗？2017哈中考题26，隐形的阿氏圆
　　只看第三问，隐隐的用到阿圆，也可以不用，正式考试超纲知识不会直接考但是可以架梯子，含沙射影的考。
　　求MP：MQ，又知道MQ6DP，那MP：MQMP：6DP，只需求出MP：DP即可。
　　这模型像不像刚才的应用题四？
　　显然就是！
　　PM：PD阿圆比值BM：BD
　　应用题六：
　　前边都是有圆的题目，其实没有圆也有机会用到阿圆。
　　这个找角平分线就是利用阿圆的平分线性质！
　　点D怎么来的，也是通过计算得到的：
　　利用侧边的相似比，计算方法不唯一哦！
　　应用题七：
　　这题也是没出现圆，而是阿圆的特例
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　　圆的各种进阶模型，肯定有你没听说过的。
　　相似三角形的经典模型上
　　相似经典模型下，多图慎入（稀奇古怪）
　　如下图，求角GDE。（是一道哈题稍微改了改，原题的x是18度）
　　这种问法显然，根据条件里没有角度，只能是瞎猜，所求的角一定是跟已知角存在等量关系，这道题就是相等。
　　如图可看出，三个标出的角度相等。
　　怎么证明呢。这里用到相似，因为相似有对应角相等。而且是利用相似倒相似（其实就是用已知的相似比倒相似比），不是常见的凑角条件。
　　由双垂模型得一个相似。
　　再用这组相似比倒比，结合两个中点的定义，则得到下面的相似。怎么倒呢？（略）
　　由这组相似得角相等，得AG垂直BE。
　　由这个新的垂直可得又一个双垂模型，得如下图相似。
　　接下来就是利用阿圆特例，中点子母连环双相似模型。原来（几何模型第十九期）是画过的。如下图。两边的相似可以互推。
　　点击查看完整相似模型：相似经典（稀奇古怪）模型下，多图慎入
　　注意两边相似都是以中点为公共角顶点的子母型相似。
　　其实这个模型是阿圆的一个特例，中点D就是阿圆的圆心，AE为对应线段，ECACEBAB。
　　把这个模型弄明白之后就易得：新相似如下图
　　这样一来三个三角形相似，三个对应角自然相等了？如下图：