HPM视角下等腰三角形的性质教学设计

　　本文为＂第三届数学文化征文比赛
　　HPM视角下《等腰三角形的性质》
　　教学设计
　　作者: 陈龙
　　作品编号：058
　　一、教学内容
　　等腰三角形的性质。
　　二、教材教学地位与作用
　　本节课内容是在学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究的一种特殊的三角形——等腰三角形．等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提供了方法，也为后续学习等边三角形、平行四边形、特殊的平行四边形及圆等内容打下基础，在教材中起承上启下的作用。
　　三、学情分析
　　学生是在学习掌握了三角形的研究方法、全等三角形及轴对称图形的概念和性质的基础上去探究等腰三角形的性质的，所以可以引导学生从三角形的研究方法出发，引导他们找出研究等腰三角形的方法，借助轴对称去探究和发现等腰三角形的性质，从边、角、三角形的三条重要线段得出等腰三角形的性质，并在这个过程中发现和获得添加辅助线的证明性质的方法，从而完成性质的推理论证过程。
　　四、教学目标
　　1．探索并证明等腰三角形的性质。
　　2．能运用等腰三角形的性质解决图形问题中与角、线段相关的简单问题。
　　3．在三角形性质的证明的探索过程与证明过程中，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
　　4.了解历史上关于等腰三角形的性质的证明，感受数学史对研究数学问题的作用与价值。
　　五、教学重点：
　　等腰三角形的性质＂三线合一＂的探索与应用。
　　六、教学难点：
　　性质1证明中辅助线的添加和对＂三线和一＂的理解。
　　七、教学方法：
　　探究式、启发式教学法。
　　八、教学准备：
　　多媒体、课件、一般三角形和等腰三角形若干、直尺、三角板。
　　教学过程
　　一、 创设情境，引入课题
　　PPT展示如下图片。
　　图中的屋顶给我们什么样的几何图形的形象？
　　生：等腰三角形。
　　师：再来看看这块古罗马人的墓碑，虽然我们看不懂他的墓志铭，但我们观察到这块墓碑的顶端是一个等腰三角形和铅垂线的组合。我们把它抽象出来，就得到右边的图形。这是一种工具，叫做水准仪.勤劳智慧的中国古代工匠盖房子的时候，用它来测房梁是否水平.你们知道这其中的道理吗？让我们走入今天的探索之旅，一起来探究等腰三角形的性质吧！
　　师：在黑板上写上课题：等腰三角形的性质
　　设计意图：从学生的生活实际和知识水平出发，感受生活中等腰三角形，通过古罗马的墓碑抽象出来的水准仪设问，引起学生好奇心，激发学生的求知欲和解决问题的兴趣．
　　二、动手操作，探索新知
　　师：按照以下操作，看我们能得到一个怎样的几何图形？为什么？你能说明理由吗？
　　设计意图：让学生利用轴对称性剪出等腰三角形，复习等腰三角形的相关概念，为等腰三角形的性质探究作准备.
　　师生活动：学生观察剪出的等腰三角形纸片，教师引导学生探究等腰三角形边角的关系，归纳等腰三角形的性质，并证明.
　　设计意图：此处让学生经历完整的命题证明过程，会进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转换．能从操作中发现辅助线的添加方法，体会辅助线的添加与解决问题的相关性，同时，教师板演示范，规范学生书写格式后让学生用多种方法证明， 引导学生发现等腰三角形共同的、本质的特征.并通过证明，进一步培养学生抽象概括能力和初步的逻辑推理能力；让学生真正理解＂三线合一＂的含义，会将＂三线合一＂分解成三个命题，体会等腰三角形性质2的内容实质.
　　三、历史回望，究根溯源
　　师生活动：教师PPT展示等边对等角的历史上著名的证明方法，学生欣赏品味.
　　以PPT展示，以欣赏为主。其中证法一证法二可以适当了解。
　　1.欧几里得《几何原本》证法
　　在BD上任取一点F，在AE上截AG=AF(命题3)，连接FC和GB，
　　∵AF=AG，AB=AC，∠FAG为公共角
　　∴△AFC≌AGB(命题4)
　　∴FC=GB,∠ACF=ABG,∠AFC=∠AGB.
　　又∵AF=AG,AB=AC
　　∴BF=CG
　　又∵∠AFC=∠AGB,FC=GB
　　△BFC≌△CGB(命题4)
　　∴∠FBC=∠GCB.∠BCF=∠CBG
　　又∵∠ABG=∠ACF
　　∴∠ABC=∠ACB
　　2.帕普斯证法
　　∵AB=AC，AC=AB，∠BAC=∠CAB，
　　∴△ABC≌△ACB(SAS)，
　　∴∠ABC=∠ACB。
　　3.普罗克拉斯证法
　　设计意图：了解数学史，渗透数学文化，感受数学课的人文精神和教育价值，借此激发学生学习的兴趣和热情.
　　四、运用新知，解决问题
　　学以致用，解决引入提出的＂水准仪＂工作原理问题.
　　设计意图：学以致用，介绍历史上水准仪的用途，一方面呼应课堂的引入，另一方面让学生感受等腰三角形的性质在生活实际中的应用，体会数学来自生活，又服务于生活的新课标理念.同时，感受我国古代劳动人民的智慧，提升文化自信和民族自豪感.
　　五、课堂练习，能力提升
　　1．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度数.
　　变式训练：
　　（1）已知，在等腰△ABC中，∠B=80°.求∠C和∠A的度数.
　　师：这道题与上题的区别在哪里？
　　已知，在等腰△ABC中，∠B=100°.求∠C和∠A的度数.
　　2．如图，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，∠B = 50°，则∠BAD =
　　设计意图：通过典型例题的变式，培养学生的发散性思维，渗透分类讨论的数学思想.教师通过适当的＂引＂，来启发学生主动地＂探＂，使师生双边活动产生＂共振＂，和谐发展.
　　六、归纳小结，拓展提升
　　师：同学们，本节课有什么收获呢？
　　生：等腰三角形的性质有：＂等边对等角＂、＂三线合一＂。
　　生：我觉得数学知识经常通过动手操作得出来。
　　生：了解了数学史上那么多数学家对等腰三角形性质的探索和证明，大开眼界！
　　生：还知道了水准仪的工作原理，感觉自己棒棒哒！
　　……
　　设计意图：总结进一步提高学生表达和归纳的能力.分层作业让不同的学生在数学课堂上有各自的收获和发展.
　　七．分层作业，巩固提升
　　（1）A组：
　　1. 在等腰△ABC中，∠A=60°，求∠C和∠B的度数。
　　2.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F，若BE=3，求CF的长。
　　设计意图：性质1，2的简单应用，更好地理解性质,夯实基础。同时，为下一节，研究等边三角形留下伏笔。（全班都要完成）
　　B组
　　1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，且AD＝4，BC＝6，若点P在边AC上移动，求 BP的最小值。
　　设计意图：性质2的简单应用，在A组的基础上略有提升拓展，帮助学生.（供中等以上层次的学生选做）
　　C组.变式：
　　证明：底边上到两条腰距离相等的点在顶角的平分线所在的直线上.
　　设计意图：本节课学生刚接触文字证明题,对三种语言之间的转化还不是非常熟练,因此设置这道题,既巩固了文字证明题的解题方法,也是对练习的拓展与变式.(供学有余力学生选做)
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