干支纪年法中的数学

　　作者 | 林磊（华东师范大学数学系）
　　本文获作者授权发布，作为数学文化征文比赛的参考文献供读者参阅.
　　2013年是农历癸巳(Gui-Si)年，年号使用的是天干与地支组合的记法，故称为干支纪年法。实际上，2013年是癸巳年的说法并不准确，因为农历的纪年是从春节开始到除夕结束的。因此，它与公历的纪年周期不完全一致。确切地说，公历的一年中，农历经历了两年：春节前后是两个不同的年。但为了方便起见，我们还是采用这种说法，它的含义是指春节开始到公历第二年的除夕的农历年。
　　我们知道天干共有10个，它们依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共有12个，依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。年号组成的方法是这样的：天干的第一位＂甲＂与地支的第一位＂子＂组合，得到第一个年号：＂甲子＂年，以后依次是第二个天干与第二个地支组合，得＂乙丑＂年，第三个天干与第三个地支组合，得＂丙寅＂年，依此类推。到了第十个年号＂癸酉＂年后，一组天干用完了，就启用另一组天干接上，所以之后的第十一个年号就是＂甲戌＂年。同样，当一组地支用完后，也启用另一组地支接上。按这样的方式一直排下去，可以不重复地排出60个不同的干支组合，即得到60个不同的年号。所以，干支纪年法的年号共有60个，成为一个甲子周期。容易想到，60恰好是10与12的最小公倍数。这个数字不是巧合，而是由干支年号的组成方式自然确定的。当然60年后，年号又会重复了。但是因为在古代，劳动生产率低下，生活很辛苦，且医疗卫生条件也不好，所以人的寿命普通不长，活过60岁的人不多，更有＂人生七十古来稀＂的说法。因此，用这种纪年法不会给人们带来多少不方便。为什么使用10与12这两个数字呢？因为这两个数在生活中使用得很多，10进制我们天天都遇到，而一年中月亮绕地球转12圈左右，所以12也是一个常用的数。顺便说一下，12在西方也很常用，一打东西就是12个，公历一年就是12个月。
　　但是，天干有10个，地支12个，所以干支的任意组合共有10×12=120种，而年号只有60个。因此，并非干支的任意组合都是年号。那么，如何来判断任意一个干支组合是否为一个年号呢？一种方法是，你将所有的年号一一列出(或找到列出年号的网页)，再将你的组合加以比对。这显然比较笨拙，也比较麻烦。其实，我们可以根据年号的制定规则，利用简单的数学原理来加以判断。首先，将10个天干从1到10依次加以编号：甲(1)、乙(2)、··、癸(10)；再对12个地支也依次编号：子(1)、丑(2)、···、亥(12)。那么，一个干支组合是年号的充分必要条件是它们编号的奇偶性相同。例如：丁辰不是年号，因为它们的编号分别是4、5，奇偶性不同；而戊申是一个年号，因为它们的编号分别为5、9，奇偶性相同！为什么这个办法正确呢?我们来看年号的编制规则：第一个年号是甲子，编号为1、1，奇偶性相同。以后紧接的一个年号，天干总是上一年号的天干的后续一个，地支也是后续的一个，它们的编号刚好都同时增加1。所以，如果前一年号的编号的奇偶性相同，当然后一年号编号的奇偶性也相同。而当一轮天干用完，新的一轮天干接上去，但是因为天干的总数10是个偶数，所以a+1与a-9=a+1-10的奇偶性相同，于是这一规律仍成立。同样12也是偶数，当一轮地支用完后，新的一轮地支接上去，这一规律也仍成立。所以，年号的编号的奇偶性都是相同的。用排列组合的方法容易知道，编号为(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)的组合恰好各有30个。于是，编号为(奇，奇)及(偶，偶)的组合恰好包含了所有的年号！
　　那么，对于一个年号，我们如何知道它在这轮甲子中是第几年呢？例如，癸巳年是第几年？我们知道，癸已的编号是(10，6)。因此，欲求解这一问题，我们可以解如下方程：
　　，其中整数满足。
　　解得x=y=2，所以10+10x=30，即癸巳年是第30年。于是，这个甲子周期的第一年是1984年，即1984年是农历甲子年。
　　我们知道，新中国的缔造者毛泽东主席诞生于1893年12月26日。我们问：毛泽东诞生于农历什么年？答：毛泽东正是诞生于农历癸巳年！因为1893+2×60=2013。
　　我们再问，中国共产党的诞生之年1921年是农历什么年?答：1921+2×60=2041,2041-1983=58。而一个甲子周期中的第58年的编号是(58-5×10.58-4×12)=(8.10)，其对应的年号是辛酉年。因此，1921年是农历辛酉年。
　　干支纪年法属于中国的传统文化，现在的年轻人知道的已经不多了。一般人恐怕也不会想到它与数学有什么联系。但是，通过本文我们可以看到，应用一些简单的数学，我们居然可以解决传统文化中的一些有趣的问题。很多学生都会提问：学了数学有什么用处？可是，大多数情况下，我们的老师对这个问题也很困惑。其实，数学的应用有很多很多，数学的应用也不神秘。关键是我们是不是长有一双慧眼，具有数学的眼光，在日常的生活中发现数学的应用价值！我认为我们数学老师的终极目标，就是培养学生的数学眼光，而仅仅不是考一个好分数。希望本文能起到一个抛砖引玉的作用。