HPM视野下一元二次方程概念教学实录与设计分析

　　本文为＂第三届数学文化征文比赛
　　HPM视野下《一元二次方程概念》教学实录与设计分析
　　作者: 刘兴华
　　作品编号：051
　　从7000年前的古埃及纸草书，到中国三国时期赵爽所著的《周髀算经·注》，在到十九世纪欧美的数学教材，都遍布着一元二次方程问题探究的印记。现代中学教材中，一元二次方程是重要的学习章节内容。以数学史视角再度开发，创设HPM视野下元二次方程单元教学课程，是课改新时期教学探究的新尝试。下面以《一元二次方程概念》课堂教学为例阐述教学新探索与实践体会。
　　一、课堂教学实录
　　课前准备：（播放背景音乐）
　　1.背景音乐《穿越时空的思念》
　　2.课件拷贝、播放工具、教学用具准备
　　3.备学生：前测分析、教学分析与处理、学生水平、知识基础状况、教室布局、授课合作情绪调动
　　环节一：同学们，唯美的音乐《穿越时空的思念》，是否体会思想与思考的感动？现在随着本节课＂数学史视角下的一元二次方程概念＂的学习，让我们在时空的穿越中，体会一元二次方程概念古今数学思想方法所承载的思维流灵动之美。
　　【设计意图】创设轻松舒展的学习氛围，以幽静甜美画面帮助学生建立时空体验；以有形感官体验，带动无形的数学思想方法的有形表达。
　　板书：课题：HPM视野下的一元二次方程概念
　　环节二：学生汇报兴趣小组自主探究学习成功：古人眼中的一元二次方程（一元二次方程发展简史）介绍古代各种文明文化背景下，人们对一元二次方程问题的探究历程和历史贡献，以及当时人们所能解的类型问题。
　　板书：方程：古代解决一元二次方程的类型
　　【设计意图】培养学生自主收集、整理数学史资料的能力，让学生体验学习过程的快乐。落实课标教学理念：在兴趣小组活动中，＂让不同学生在数学上获得不同发展。＂学生分组合作，提高学习效率和效果。微课制作活动，促进学生的合作意识和团结协作能力。
　　环节三：观看多媒体情景剧：古巴比伦人眼中的一元二次方程问题
　　【设计意图】借助信息技术能力提升2.0技术创设历史中的生活问题情境，用几何动画演示古人的问题解决思维活动过程，帮助学生理解古人解决一元二次方程智慧。创设情境激发学生的好奇心和学习兴趣。
　　环节四：古巴比伦土地测量问题：一块土地是矩形，已知面积是 55，长比宽多6，试求这块矩形土地的长、宽各是多少？
　　学生分组讨论，利用现实的A4纸张，通过折纸等操作复原古巴比伦人解决问题的智慧，学生板演小组讨论的结果，用代数手段表达古人解题步骤。
　　板书：复原：学生折纸粘贴板书，书写问题解决的代数步骤
　　【设计意图】学生观看视频，提高学生注意力，并集中精力思考古人解题方法，并及时转化为现代数学符号表达，进而提高学生效率与效果，变老师教授为学生自主思考。学生古法复原的过程，再有转化为现代符号表达的过程，渗透着一元二次方程求解重要数学思想方法——配方方法。这一环节也为后学学习做铺垫。
　　环节五：教材第2页问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个参赛？
　　学生分组讨论，方程化简，自主解决。小组汇报演示。
　　分析：全部比赛的场数为28，设邀请赛个队参赛，每个队要与其他个队各赛场，因为甲队对乙队和乙队对甲队是同一场比赛，所有全部比赛共场。
　　根据题意，列方程
　　化简得:
　　板书：
　　（老师强调，三种形式等价互化为一元二次方程概念教学做铺垫）
　　【设计意图】纵观历史发展，现代生活中依然存在着各式各样的问题，通过转化为一元二次方程问题后得以解决。这里可以帮助学生理解，一元二次方程是一数学模型，它有着丰富生活问题背景。现代问题已经突破了古人的土地测量问题。培养学生数学建模思想，教学中重视学生的核心素养培养。
　　教材处理：教材引用的两道问题，主要考虑数学建模，建立一元二次方程模式给出常见的形式和一般形式。在教学中，借用教材方程形式，先用问题2，考虑生活中常见类型和古代方程类型一致，所以先用它来引出方程的概念。
　　环节六：新概念：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫一元二次方程。
　　板书：一元二次方程概念要点：
　　1、方程是整式方程
　　2、只含有一个未知数3.未知数的最高次数是2
　　练习：
　　1、自主举例一元二次方程两个
　　【设计意图】开发式问题，激发学生自主思考欲望，培养创造性思考意识。
　　2、辨析判断下列方程是否是一元二次方程，说明理由
　　⑴
　　⑵
　　⑶
　　⑷
　　⑸
　　3.分析古巴比伦人解题各步骤中方程特点，结合（3）、（4）练习题分析引出一元二次方程一般形式。
　　板书：
　　【设计意图】
　　1、引导学生深入理解一元二次方程根的概念，其内涵包括：根的存在性和根的个数，区别以往学习的一元一次方程以及二元一次方程组解的概念。
　　2、此题来源于《周髀算经》求解一元二次方程
　　3、教学设计注意数学思维流的流畅性和连续性，体会数学思维逻辑本质。为学生学习认知搭建脚手架。
　　环节七：教材第2页问题1：如图所示，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面面积为3600平方厘米，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
　　学生自主讨论完成，小组汇报分享学习成功
　　解：分析：如图， 设去掉的小正方形的边长为,则无盖盒子的底面矩形长为,宽为，根据题意，得到
　　整理，得
　　化简：
　　学生思考：为什么化简，目的是什么？
　　板书：
　　【设计意图】本题教材中出现了一般形式，因此在教学中，将其处理为一元二次方程一般形式定义的引例。为概念学习中的强调知识点做铺垫。教学中，引导学生观察方程形式，总结特点，引出数学新概念。
　　环节八：新概念教学，一元二次方程的一般形式：
　　为二次项，a为二次项系数；
　　是一次项，是一次项系数；
　　是常数项
　　板书：一元二次方程一般形式相关内容
　　老师结合问题强调：化简最后结果，二次项系数为正，且为整数。
　　【设计意图】结合历史讲解方程化成一般形式的意义。介绍笛卡尔的方程处理与数学发现，为学生后续学习因式分解法解一元二次方程做铺垫，彰显文化育人魅力。
　　教材例题：将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项。
　　学生分组自主解决，去括号，得移项、合并同类项，化为一般形式为：
　　板书：无
　　【设计意图】理解、巩固一元二次方程一般形式和相关概念。
　　练习：将下列方程化成一般形式，辨别二次项系数、一次项系数、常数项。
　　1、
　　2、
　　【设计意图】通过古题辨析，引导学生思考方程化成一般形式可以准确反映方程本质，也为后续学习方程解法研究根与系数关系服务。
　　3、学生讨论分析：古巴比伦人解题过程，分析方程的解，区别以往方程解的特点。
　　环节九：新知学习一元二次方程的根
　　一元二次方程的根：
　　像使得方程等号两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
　　因此，是的两个根。
　　板书：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
　　练习：
　　1、下列哪些数是方程的根？ -4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4
　　2、你能写出方程的解吗？
　　3、试求出的根？
　　4、 如果2是方程的一个根，那么常数c是多少？求出其他根。
　　学生分组讨论自主解决。课堂汇报解答。
　　【设计意图】引导学生深入理解一元二次方程概念的特点：1方程如果有实数根，则实数根是成对出现的。2方程根的取值范围不同，根存在的情况也不同。
　　初步了解一元二次方程根存在的情况，为后续学习做铺垫。
　　环节十：课堂小结与作业布置：
　　小结：一课一题一线穿学生自主设计本节课的思维导图
　　【设计意图】以来自古代测量土地问题为线索，将本节课的学习内容串联起来，建构知识体系，便于学生理解掌握。
　　作业：
　　1.选做题：教材第4页习题21.1复习巩固第一题中的4、6小题
　　2.选做题：小组活动：第4页综合运用的题，讨论解题方法和相关历史文化。
　　3.课外拓展（选做题）：试用古巴比伦人的智慧，借助几何图解来求解方程的解。
　　【设计意图】
　　1、学生分流布置作业，＂让每个学生都学的好学的会，让每个学生都吃的饱吃的好＂ 让每个学生在数学上都有适当的发展进步，当堂课学习当堂消化、理解、掌握，不给学生留负担。作业设计为选做题。学生自主自愿完成，学生在做作业时，实现分流、分层。
　　2、学生的作业另一种形式是课前测和课后测，是每个学生必须完成的。
　　3、课外拓展问题的设计，是针对学有余力的同学设计的。不仅在于复习巩固本节课学习新知，掌握新技能技巧，还提升学生的代数抽象能力，在没有老师讲解的情况下完成新知探索，为后面的学习做准备。
　　板书设计：
　　本节课的教学设计与实践，将数学史素材与现代教学信息技术结合起来，展示数学穿越时空的智慧魅力，达到数学史文化启智育人的教育目的。
　　【教学反思】 ＂教学相长＂：教学中，学生用现代数学符号列方程表达古人的解题智慧，学生体会各个几何图形对应不同的方程表达，深刻体会到不同的方程表达的不同几何图形意义。这个教学环节让学生对方程表达等量关系有进一步理解：对于不同的等量关系对应不同的方程，不同方程表达着不同的等量关系。为学生理解教材中的一元二次方程的概念创设情境做认知心理做铺垫。为今后教学提供教学处理的有效参考。
　　【教学评析】刘老师这节课利用数学史知识引发学生数学思维，丰富学生数学文化，实现了＂人文教育与科学教育的融合、数学思维与数学文化的融合＂的双融合。是引导学生在方程求根的过程中，发见历史，拓展空间，活化数学的一节创新课；是落实课程标准＂让不同学生在数学上获得不同发展＂的一节实践课；是基于中学生数学核心素养，提升学生能力一节综合课。本节课几个特点比较突出：
　　一、学生自主收集、整理数学史资料，让学生在解题过程中体验学习的快乐。
　　学生制作微课学件，在学生分组合作中，促进学生的合作意识和团结协作能力。学生观看视频，集中学生注意力，认真思考古人解题方法，并及时转化为现代数学符号表达，进而提高学生效率与效果，变老师教授为学生自主思考。学生古法复原的过程，再有转化为现代符号表达的过程，渗透着一元二次方程求解的重要数学思想方法——配方方法。这一环节也为后学学习做铺垫。
　　二、恰当处理教材，促进＂人文教育与科学教育的融合＂。
　　帮助学生理解一元二次方程是一数学模型，它有着丰富生活问题背景。现代问题已经突破了古人的土地测量问题。培养学生数学建模思想，教学中重视学生的核心素养培养。教师利用教材，引用的两个问题，从数学建模角度设计，建立一元二次方程模式给出常见与一般形式。在教学中，借用教材方程形式，先用问题2，考虑生活中常见类型和古代方程类型一致，引出方程的概念。
　　（一）引导学生深入理解一元二次方程根的概念，其内涵包括：根的存在性和根的个数，区别以往学习的一元一次方程以及二元一次方程组解的概念。
　　（二）提出《周髀算经》求解一元二次方程的类型，将蕴含丰富历史文化，教学中加以处理。介绍历史渊源及其发展，引出一元二次方程的一般形式。为概念学习中的强调知识点做铺垫。教学中，引导学生观察方程形式，总结特点，引出数学新概念。
　　（三）教学设计注意了数学思维流的流畅性和连续性，体会数学思维逻辑本质。为学生学习认知搭建脚手架。
　　本题教材中出现了一般形式，因此在教学中，将其处理为一元二次方程一般形式定义的引例。
　　三、知识迁移，能力转化，实现了＂数学思维与数学文化＂的融合。
　　汪晓勤在其《HPM:数学史与数学教育》一书中指出：数学史与数学教育＂能够激发学生学习兴趣，使他们树立正确的价值观。＂教学中，刘老师结合历史讲解方程化成一般形式的意义。介绍笛卡尔的方程处理与数学发现，为学生后续学习因式分解法解一元二次方程做铺垫，彰显文化育人魅力。引导学生深入理解一元二次方程概念的特点：一是方程如果有实数根，则实数根是成对出现的。二是方程根的取值范围不同，根存在的情况也不同。知识迁移，能力转化，实现了＂数学思维与数学文化＂的融合。
　　（点评教师：李景阳 黑龙江省阿城区进修学校，杨甲男 黑龙江省阿城区进修学校）
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