本文为＂第三届数学文化征文比赛 小折纸，有大历史 ——可以写入教材的＂一刀剪＂最大精确五角星折法 作者: 傅薇 作品编号：038 摘要: ＂一刀剪＂五角星早已有之，笔者原以为也就几十年的历史。成文过程中发现这段长长的关于五角星折纸的故事可以补充进娱乐数学的数学史中。但早期的＂一刀剪＂五角星方法，不是角度不精确，就是成品率不高（非最大）。本人用了三年时间打造出一种精确的、最大的且步骤较少的＂一刀剪＂五角星方法。据此，还得出了非常有用的推论，如：根据折出的36度可以五等分角；联合＂折纸解决古希腊三大几何难题＂之折纸＂三等分角＂方法，可以折出任意整数角度等。 关键词：折纸、娱乐数学、一刀剪、五角星、36度、五等分角、黄金比例、five-pointed star、MIT、 Erik Demaine、Between the Folds、Martin Gardner、G4G、fold-and-cut、OSME、BOS、Sam Loyd、Harry Houdini、Betsy Ross、Fu Wei 一、早期五角星/五边形折纸的背景故事 2.1 ＂一刀剪＂问题及Erik Demaine父子的解答 &概念介绍：什么是＂一刀剪＂？ 说到剪纸，大家应该不陌生，它是先折叠好纸，然后多刀剪，剪出某些特定图案。也许剪纸中包括＂一刀剪＂。但＂一刀剪＂（Fold-and-Cut Magic）其实是一个数学谜题，这您知道吗？ ＂你拿出一张纸，任意折，但最后要是一个平面，然后用剪刀剪一条直线，再把这张纸打开，你需要解答剪完后会得出什么形状？＂这段话是Erik Demaine（麻省理工学院MIT有史以来最年轻教授）在折纸纪录片《折叠之间》（Between the Folds）中的叙述，他和你的父亲Martin Demaine解决这个＂一刀剪＂难题，获得了＂麦克阿瑟奖天才奖（MacArthur Fellowship）＂（ 该奖被视为美国跨领域最高奖项之一）。他们父子得出的结论是，＂一刀剪＂——经过有限次折叠，再一刀剪下去，可以得出任何图形，其中包括＂五角星＂（five-pointed star）。 图 1: 折纸纪录片《折叠之间》、Erik Demaine本人及他出版的书. &概念介绍：什么是G4G？ G4G是Gathering for Gardner的缩写，是Tom Rodgers创办的纪念美国趣味数学大师马丁·加德纳（Martin Gardner）的社团，在国外每两年举行一次纪念活动，与会者都是秉承马丁·加德纳的娱乐数学思想，进行魔术、科学、拼图、谜题、智玩等多种主题的分享，有心者还将各领域专家的分享录成视频或集结成书。Martin Gardner是Erik Demaine的偶像，Erik Demaine从小酷爱做谜题，也曾担任过多年的G4G董事会主席，并为Martin Gardner编辑和出版过相关书籍。 图2: 三本G4G会议讲座论文集及马丁·加德纳头像. 在第三本G4G会议论文集中，P23登载了Erik Demaine父子写的关于＂一刀剪＂的文章。由下图可见，其五角星不是正方形能裁的最大五角星。即便这个五角星是尖角碰到正方形的边上，它也不是最大的，因为它是以正方形的中线为对称轴；而正方形能裁的最大五角星是以正方形的一条对角线为对称轴的。读者可以自行想想原因。 图3: Tribute to a Mathemagician书中登载的 Fold-and-Cut Magic方法P23 2.2 Sam Loyd书中记载的两种五角星折法（包括中国传统折法） Sam Loyd介绍说他的第一种方法是最早、最好的方法，利用5*3.5的长方形纸如下图折叠。聪明的读者可以证明，它折出的角是有误差的，不是精确五等分角；并且特定比例的长方形纸不具有普适性。第二种也是中国的传统五角星折法，同样存在角度误差。 图4: 1914年出版的Sam Loyd书中介绍的两种五角星折法P 69. 图5: FW（笔者）证明了Sam Loyd书中两种五角星折法存在角度误差. 2.3 五角星折法与逃脱大师哈里·胡德尼及美国国旗制作的关联 &概念介绍：什么是OSME会议？ OSME全称是International Meeting on Origami Science Mathematics and Education，译成中文为折纸、科学、数学、教育国际会议，每四年举办一次，会吸引全球科学、数学、工程、教育、艺术等各领域的高端人士参加交流、作报告、交论文、出论文集/书等。可以说OSME是当今世界关于折纸跨界领域的最高端会议。笔者了解的最近两届分别是2016年在日本举行的第六届OSME6和2018年在英国牛津大学举行的第七届OSME7会议。 OSME3论文集中列举了＂一刀剪＂五角星与Harry Houdini、Martin Gardner、Demaine父子，甚至美国国旗设计者Betsy Ross的关联。 图6: OSME3和OSME5论文集中提到关于＂一刀剪＂五角星的起源和折法. Harry Houdini（1874-1926）是世界著名的魔术师，二十世纪最伟大的脱逃大师。1922年他出版了一本书Paper Magic描述一些折纸技巧，2000年被重印。 图7: 2000年重印的Houdini书中记载了五角星的折法及笔者进行的验证. 如果说五角星的折法能追溯到第一面美国国旗国旗的诞生时刻，那么至少距今已有200多年了。 图8: 传说中第一面美国国旗制作者Betsey Ross的五角星折法及笔者的验证. 至此，我们分析了几个早期的＂一刀剪＂五角星折法，笔者作了验证，可见他们不是正方形所能裁的最大五角星，亦或折的角度不精确，有误差。那么，有没有能折出精确最大五角星的方法呢？下面介绍一下笔者的方法。 二、FuWei（FW）的五角星/五边形折纸方法 2.1 正五边形折法 2018年，因为一位折友的询问，笔者研究了正五边形、正七边形的折法，有幸想出最大且精确的方法，步骤也不多。被OSME7大会副会长Mark Bolitho关注到，将这两种方法刊登在当年2018年BOS（British Origami Society 英国折纸协会）Autumn 特刊Oxford Model Collection 上。 图9: 2018 BOS Autumn 杂志收录了FW的最大精确正五和正七边形的折法. 随后两年，笔者重新审核了正五边形折法，先后想出了近十种方法，最后总结出一种最精练的，随后将这种方法引申出＂一刀剪＂五角星方法。 图10: FW想出的改进版最大、精确正五边形折法. 图11: FW想出的最大、精确＂一刀剪＂五角星的方法（步骤中包括折出36°及五等分角方法）. 图12: FW想出的改进版最大、精确＂一刀剪＂五角星的方法. 2.2 黄金比例、正五边形、折36°与五等分角 图13: 黄金比例、正五边形及36°函数值之间的关系. 图14: FW的五等分角的证明（直角五等分＝折出18°）. 2.3 利用古希腊三等分角折法与五等分角折法可折出任意整数角度※※ 由上一小节，我们可以得到36°角折法；在折纸中，45°角或30°角（参见图8）很容易得到；再利用三等分角方法，即可得到1°，从而可通过折纸得到任意整数角度。这应该是目前折纸中最简单精确的两种方法了。 （45°-36°）/3/3=（36°-30°）/3/2=1° (1) 图15: 阿部恒（日）的折纸三等分锐角的步骤及FW的三等分角的证明. 图16: Jacques Justin折纸三等分钝角的步骤及FW的三等分角的证明. 三、总结 本文从一个大家司空见惯的五角星折纸说起，引发出一连串的知名学者、会议、机构，甚至数学史和人文历史，让笔者深刻体会了什么叫＂见微知著＂。学问无大小，重在＂学＂和＂问＂，善于思考和发现问题，挖掘事物本质规律。关于这个200多年历史的＂一刀剪＂五角星问题，笔者有幸接触并给出了自己的结论，虽然跨越几年的时间，但也学到很多东西。由于篇幅有限，还有些内容未能加入，比如：从折出黄金比例可类比折出其他金属比例；由正五边形折纸可设计黄金比例相关的折纸作品等等。文中提到Martin Gardner是Erik Demaine的榜样，而Erik Demaine是笔者的榜样，可以说榜样的力量是不可估量的。在榜样的研究成果上开拓创新既是精神上对学术榜样的一种致敬，也是在科学研究上对所处领域的专研和发展，何尔而不为呢？这篇小文是我的研究，与君共享，希望你们喜欢。 References 【2020年马丁加德纳聚会主题分享：傅薇——一刀剪最大正五边形-哔哩哔哩】https://b23.tv/eWWbVN 【Erik Demaine的主页】http://erikdemaine.org/ 【(纪录片)折叠之间 Origami - Between The Folds【中配/原声】-哔哩哔哩】https://b23.tv/P377LC 【G4G】https://www.gathering4gardner.org/category/g4gn-recaps/ 【BOS】http://colortreelimited.co.uk/product/2018-model-collection-autumn-ebook/ 【Betsy】https://www.ushistory.org/betsy/flagstar.html 【Houdini】http://209.237.170.79/magos/books/paper2/41.html 相关链接>> 相聚于网络，相知因数学，相交为征文——第三届数学文化征文活动通知 第三届数学文化征文比赛评委简介 第二届数学文化征文比赛通知 第一届数学文化征文活动文章集锦 已发文章>> 001 莱布尼茨、二进制和伏羲卦图 002 美学视角下的数学教学 —— 读《数学的美与理》有感 003 数学基础与黎曼猜想 ——《数学简史：确定性的消失》读后思考 004 数学与文化并重 知识与兴趣同行 ——＂算筹记数＂教学思考 005 数学是多维度的艺术——读《数学家的眼光》有感 006 从掷骰子到阿尔法狗：趣谈概率 007 中学数学中分类思想的教学与拓展 008 守门的秘密 009 探数学文化，启数学之美——以高中数学《割圆术》为例 010 基于数学史视角的高中数学教学思考 011 我是怎样读《几何原本》的 012 相映成趣的两座数学桥 013 HPM视角下的数学概念教学——＂平面直角坐标系＂教学设计 014 极限定义新讲：动态定义与静态定义 015 把握思想方法，自主提升数学素养 ——读《让知识自然生长》有感 016 读北大张顺燕教授《数学的源与流》的几点收获 017 中国古代数学对＂一带一路＂沿线国家的影响 018 数学阅读锦上添花，实践成果领航数坛新征程 019 提高概率教学质量的几点思考 020 温故建构新知 论证生成巧思 ——三角形的中位线定理的探究 021 读《学好数学并不难》有感 022 体验经典证法 渗透数学文化 ——以＂勾股定理（第一课时）＂教学为例 023 数学文化 文化数学 ——融合数学文化的中考试题的品析与启示 024 善用数学文化 灵动数学课堂 优化育人途径 025 基于数学文化的高中数学教学的实践与研究 026 数学中的美—— 读《数学文化中的美育渗透》有感 027 利用＂去分母＂解一元一次方程教学设计 028 海伦公式 029 《镜花缘》中的数学＂缘＂ 030 基于认知发展的数学理解教学 ——读《数学教学心理学》所思所行 031 做一位有文化的数学教师 ——读《数学教育中的数学文化》所感 032 向下扎根，追寻成长 033 运用读思达进行中考文化类试题解题策略研究 ——以2021福建、北京中考试题为例 034 2021年中考中的传统文化试题 035 数学文化阅读课——《圆周率的历史》 036 小学低年段课堂中渗透数学文化的思考 ——读张齐华老师《用文化润泽数学课堂》有感 037 五光十色的数学之《数学及其历史》观后有感
PDI脑神经营养关于孩子粗心家长认识有误区粗心是人们在生活学习中的一种常见现象，不仅孩子身上存在这种毛病，在我们这些成年人身上也或多或少地存在着。只是粗心的毛病在孩子身上表现得更明显更突出。AU金伽发现每当我们翻开孩子的作PDI脑神经营养孩子学习成绩差的根本原因是什么PDI脑神经营养发现在一个班上，我们总能发现有这样的两类学生，一种是学习成绩优异的尖子生另一种是成绩差的差等生。对于学习成绩差的孩子，无论老师和家长用什么方法，他们的成绩始终无法提PDI脑神经营养判断孩子是否有高品质注意力这样做高品质的注意力应该是注意的集中能力注意的持久能力以及注意的警戒性能力的有机结合，它是个人具有的稳固心理特征，即总是能够在需要注意的场合下完成注意任务，而不是指在某一特定情况下维持的曾经的保姆现在的杀手你的贪图省事正报应给孩子在开始今天的观点之前，小伽想先跟大家分享一故事一个真真切切发生在我同事身上的例子。看完后，也许不需要小伽多说什么，大家都能找到共鸣。同事是做技术开发的，加班是常态。妻子是一名设计师PDI脑神经营养孩子注意力不集中的心理原因值得家长深思上课爱走神，东张西望，爱做小动作写作业拖拉，常常边写边玩做事三心二意，常常被周围的声音或事物吸引造成孩子上述种种表现的原因可以归结孩子注意力差，而这将对他的学习和生活造成很大的负面听名人轶事告诉我们培养孩子专注力的魔性作用小伽从不妄言，除非大家真的有需求。今天，我们来讲专注力。孩子专注力的好与否，在没有上幼儿园小学之前，家长是很难发现的。除非孩子表现得非常明显，比如一分钟都闲不下来，坐不住，动来动去PDI脑神经营养集中注意力，教你超实用的几招PDI脑神经营养认为，在内外因素一起改善的情况下，注意力水平是可以提升的。PDI脑神经营养结合了国内外相关研究成果及实践经验，提出了有助于提高注意力的几点建议，为不同场合下的注意力广东53岁妈妈大女儿独立后内心空虚，追生二胎做试管再得一子近日，广东顺德53岁的吴女士顺产生下一个男婴，宝宝出生之后，各方面评分都比较好。据医生介绍，吴女士是一位二胎妈妈，刚开始来产检时，医生都十分吃惊。吴女士表示，在大女儿独立后，她总是四川一外卖员马路中间打电话，男子上前劝离遭怼开宝马了不起？近日，四川成都一名男子驾车出行时，碰到一名外卖员骑着电动车停在马路上挡路。男子先是按了两下喇叭，但外卖员却仿若未闻，完全置之不理。等了一会儿之后，男子再次按响喇叭，这次外卖员终于有重庆一女子手机号码被中介发到3000人工作群，几小时打了100多个近日，重庆一名女子向媒体爆料称，她的手机号码被人恶意透露出去，导致工作生活受到了严重的影响，每天都要接到很多推销电话。有一次就几个小时的时间，竟然接到了上百个骚扰电话，这让她精神有辽宁一医生低血糖晕倒，病人家属及时出手相救这一次换我救你近日，辽宁沈阳一名男子经过医院走廊时，遇到一位医生突然在走廊上晕倒，男子见状赶忙上前搭救。巧合的是，这正是给男子爱人看病的医生，而在平时交流中男子得知医生有低血糖，在随后赶来的护士