小学奥数解题技巧大全第一讲观察法，精讲11道例题

　　小学奥数解题技巧大全60讲｜第一讲《观察法》
　　在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
　　观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
　　观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。
　　*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学第二册，第11页中的一道思考题。
　　书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。
　　从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。
　　从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。
　　从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
　　从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。
　　又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。
　　图1-5是填完数字后的幻方。
　　例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）
　　6、16、26、____、____、____、____。
　　9、18、27、____、____、____、____。
　　80、73、66、____、____、____、____。解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。
　　观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。
　　观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。
　　这样可得到本题的答案是：
　　6、16、26、36、46、56、66。
　　9、18、27、36、45、54、63。
　　80、73、66、59、52、45、38。
　　例3 将1～9这九个数字填入（图1-6）的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）
　　解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。
　　所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。
　　图1-7是填完数字的图形。
　　例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度）
　　解：此题不少学生不加思考就回答：＂一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。＂
　　我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？
　　（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。
　　（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。
　　（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，
　　剩下五个角（图1-10）。
　　例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。
　　甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。
　　这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。
　　如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是999。
　　*例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。
　　如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：
　　1966+1976+1986+1996+2006
　　=1966×5+10×（1+2+3+4）
　　=9830+100
　　=9930
　　这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和1996的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：
　　1966+1976+1986+1996+2006
　　=1986×5
　　=9930
　　例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级程度）解：我们仔细观察一下算式：
　　400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
　　不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是＂被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变＂。
　　进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。
　　（1）600÷25 （2）900÷25
　　=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）
　　=600×4÷100 =900×4÷100
　　=24 =36
　　（3）1400÷25 （4）1800÷25
　　=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）
　　=1400×4÷100 =1800×4÷100
　　=56 =72
　　（5）7250÷25
　　=（7250×4）÷（25×4）
　　=29000÷100
　　=290
　　*例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？（适于五年级程度）解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。
　　假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：
　　（87-1-2-7-8-9）÷6
　　＝60÷6
　　=10
　　求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。
　　因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：
　　（837-1-2-7-8-9）÷6
　　＝810÷6
　　=135
　　第二个数是：135+1=136
　　第三个数是：135+2=137
　　第四个数是：135+7=142
　　第五个数是：135+8=143
　　第六个数是：135+9=144
　　答略。
　　（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。
　　11=（10+11+12）÷3
　　18=（17+18+19）÷3
　　所以上横行与下横行两个中间数的和是：
　　87÷3＝29
　　由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：
　　837÷3＝279
　　因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。
　　x+（x+7）=279
　　2x+7=279
　　2x=279-7
　　=272
　　x=272÷2
　　=136
　　x+7=136+7
　　=143
　　因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135
　　第三个数是：135+2=137
　　因为下一横行中间的数是143，所以，
　　第四个数是：143-1=142
　　第六个数是：142+2=144
　　答略。
　　*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，
　　8-1+3=10
　　即锯去一个顶点后还有10个顶点。
　　（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。
　　（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。
　　（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。
　　例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）
　　解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ2+2πγh。
　　本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。
　　如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
　　（2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）
　　=（4.5π+3π）+2π+π
　　=7.5π+3π
　　=10.5π
　　=10.5×3.14
　　=32.97（平方米）
　　答略。
　　*例11 如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件长20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）
　　解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。
　　求表面积的方法1：
　　＝3.14×45×2+600+120×3.14
　　=3.14×90+3.14×120+600
　　=3.14×（90+120）+600
　　=659.4+600
　　=1259.4（平方厘米）
　　求表面积的方法2：
　　=3.14×210+600
　　=659.4+600
　　=1259.4（平方厘米）
　　铸件的体积：
　　=3.14×225×4
　　=3.14×900
　　=2826（立方厘米）
　　答略。
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