运动分析以及动态静力分析

　　院校    ：************
　　班级  : 机械工程及自动化 软件工程04级5班
　　设计者 : ***
　　指导教师: ***
　　时间  : 2007-07-00
　　目录
　　一、设计条件
　　二、设计要求
　　三、运动分析以及动态静力分析
　　四、源程序
　　五、计算结果
　　六、心得体会
　　前言：
　　该运动学分析的任务是：找出角的位置, 驱动杆的角速度和角加速度或位置, 直线运动速度和线性加速度在驱动杆上的点,并找到了驱动力t， 根据输入参数驱动线和各个方面各个环节.
　　六杆系统
　　输入数据表
　　单位 rpm m m m m m m m kg kg kg m m Kgm2 Kgm2 KN
　　一、设计条件
　　1、按照知道教师布置的机构类型和设计参数进行机构分析。
　　2、已知机构的工作阻力Pr，从动件的工作摆角（舍），主动件角速度W1连杆和滑块的质心位置已知。主动杆件不考虑惯性力的影响，各杆件的几何尺寸已知。
　　二、设计要求
　　1、整理说明书一份（主要内容：题目、设计条件及要求、机构运动简图。数据模型，列出矢量方程，程序流程图，计算结果分析及评估，要求：步骤清楚，叙述简明，文字通顺，书写端正。）
　　2、画机构运动起始位置简图（在说明书中简单说）。
　　3、打印结果一份：对应主动件处各位置时，从动件的位移，速度（角速度），加速度（角加速度）和主动件的平衡力偶M（平衡力F）。
　　4、打印位移S，速度V，加速度A曲线。
　　三．运动分析以及动态静力分析
　　数学模型
　　计算连杆2 , 3 , 4的角度和滑杆的位置: L1* cosθ1+L2* cosθ2=L3* cosθ3+LED* cosθ3θ4=arcsin((b-L3* sinθ
　　3)/L
　　4)
　　从上式可得：θ2 ，θ3，θ4
　　计算杆和角速度和滑块的速度，对以上的函数求导即可得：ω2=(ω3*(L3-Lce)*sin(θ
　　3)-ω1*L1*sin(θ
　　1))/(L2*sin(θ
　　2))
　　ω4=-(ω3*L3*cos(θ
　　3))/(L4*cos(θ
　　4))
　　vf=-ω3*L3*sin(θ
　　3)-ω4*L4*sin(θ
　　4)
　　对上面的函数求导计算连杆的角加速度和滑块的加速度：
　　ε3=(D*cos(θ
　　2)-E*sin(θ
　　2))/((L3-Lce)*sin(θ2-θ
　　3))
　　ε2=(D+(L3-Lce)* ε3*sin(θ
　　3))/(L2*sin(θ
　　2))
　　ε4=(L4*ω4*ω4*cos(θ
　　4)-L3*(ε3*cos(θ
　　3)-ω3*ω3*sin(θ
　　3)))/(L4*cos(θ
　　4))
　　af=-L3*(ε3*sin(θ
　　3)+ω3*ω3*cos(θ
　　3))-L4*(ε4*sin(θ
　　4)+ω4*ω4*cos(θ
　　4)) E=-(L3-Lce)*ω3*ω3*sin(θ
　　3)-L1*(ε1*cos(θ
　　1)-ω1*ω1*sin(θ
　　1))+L2*ω2*ω2*sin(θ
　　2);
　　极限位置图
　　力分析
　　受力图
　　构件1：
　　构件2
　　构件3
　　构件4
　　1 如图建立直角坐标系。
　　2 建立构件位置方程 L1*cos(arg
　　1)+L2*cos(arg
　　2)-L3*cos(arg
　　3)-a=0 Lo2c=s5+L4
　　L4sin(arg
　　4)=Lo2csin(arg
　　3)
　　令： B=2*L1*L2*cos(arg
　　1)-2*a*L2 得出：
　　arg2=2*atan((A-sqrt(A*A+B*B-C*C))/(B-C)) arg4=asin((b-L3*sin(a
　　3))/(L
　　4))
　　xf=a+L3*cos(a
　　3)+L4*cos(a
　　4)
　　求导得出： 2杆的角速度：  t3=(L1*sin(arg1-arg
　　2)*t
　　1)/(L3-Lce)*sin(arg3-arg
　　2)  4杆的角速度：  t4=-(t3*L3*cos(arg
　　3))/(L4*cos(arg
　　4))
　　滑块的速度：    vf=-t3*L3*sin(arg
　　3)-t4*L4*sin(arg
　　4)
　　再求导得出：
　　原动件的角加速度：s1=0
　　3杆的角加速度：  s3=(D*cos(arg
　　2)-E*sin(arg
　　2))/((L3-Lce)*sin(arg2-arg
　　3))
　　2杆的角加速度：  s2=(D+(L3-Lce)*s3*sin(arg
　　3))/(L2*sin(arg
　　2))
　　4杆的角加速：
　　s4=(L4*t4*t4*cos(arg
　　4)-L3*(s3*cos(arg
　　3)-t3*t3*sin(arg
　　3)))/(L4*cos(arg
　　4))
　　滑块的加速度：
　　af=-L3*(s3*sin(arg
　　3)+t3*t3*cos(arg
　　3))-L4*(s4*sin(arg
　　4)+t4*t4*cos(arg
　　4))
　　3:建立质心方程：
　　A：对质心S3分析如下：
　　Xs3=a+(L3*COS(arg
　　3))/2;   Ys3=b+(L3*sin(arg
　　3)/2
　　通过上式两边求导；
　　Vs3x=(-L3*t3*sin(arg
　　3))/2;Vs3y=(L3*t3*cos(arg))/2
　　进一步求导：
　　As3x=(-L3*s3*sin(arg
　　3))/2+(-L3*t3*t3*cos(arg
　　3))/2
　　As3y=(L3*s3*cos(arg
　　3))/2+(-L3*t3*t3*sin(arg
　　3))/2
　　B:对质心S4分析如下：
　　Xs4=a+L3*cos(arg
　　3)+(L4*cos(arg
　　4))/2
　　Ys4=b+(L4*sin(arg
　　4))/2
　　通过上式两边求导：
　　Vs3x=-L3*t3*sin(arg
　　3)-(L4*t4*sin(arg
　　4))/2
　　Vs3y=(L4*t4*cos(arg
　　4))/2
　　进一步求导：
　　As4x=-L3*s3*sin(arg
　　3)-L3*t3*t3*cos(arg
　　3)-(L4*s4*sin(arg
　　4))/2-(L4*t4*t4*cos(arg
　　4))/2
　　As4y=(L4*s4*cos(arg
　　4)/2-(L4*t4*t4*sin(arg
　　4))/2
　　C:对质心S5分析如下：
　　Xs5=a+L3*cos(arg
　　3)+L4*cos(arg
　　4)
　　求导：
　　Vs5x=-L3*t3*sin(arg
　　3)-L4*t4*sin(arg
　　4)
　　As5x=-L3*s3*sin(arg
　　3)-L3*t3*t3*cos(arg
　　3)-L4*s4*sin(arg
　　4)-L4*t4*t4*cos(arg
　　4)   Program Design程序设计
　　A：构件1受力分析如下：
　　M1=0                                 X=0  Y=0 B:构件2受力分析如下：
　　M2=0
　　(YB-YC)*Fr32x-(XB-XC)*Fr32y=0
　　X=0                                 Y=0 C:构件3受力分析如下：
　　M3=0
　　Fr23y*(XC-XD)-Fr23x*(YC-YD)-Fr43y*
　　(XE-XD)+Fr43x*(YE-YD)-Fi3x*(Ys3-YD)
　　+Fi3y(Xs3-XD)+Mi3=0
　　X=0
　　Fr23x-Fr43x+Fi3x+Fr63x=0
　　Y=0
　　Fr23y-Fr43y+Fi3y+Fr63y-G3=0
　　D:构件4受力分析如下：
　　M4=0
　　-Fr34x*(YE-YF)-Fr34y*(XE-XF)-Fi4y*
　　(XF-Xs
　　4)-Fi4x(Ys4-YF)+GD*(XF-Xs
　　4)+Mi4=0
　　X=0
　　Fr34x+Fi4x-Fr54=0
　　Y=0
　　Fr34y+Fi4y+Fr54y-G4=0
　　E：构件5受力分析如下：
　　X=0
　　Fr45x+Fi5x-Pr=0
　　Y=0
　　Fr65y-Fr45y-G5=0
　　程序模型
　　程序变量定义L2=0.4, L3=0.44, L4=0.6, Lce=0.12,Les4=0.32, Js3=0.03, Js4=3;t1,t2,t3,t4    各杆的角速度xf,vf,af       滑块的速度,加速度
　　A,B,C,D,E;
　　g=9.8;
　　Pr;
　　四．源文件清单
　　//机械原理课程设计
　　//题目六:摆动式运输机运动分析与动态静力分析(方案
　　3)
　　#include<iostream.h>
　　#include<math.h>       L2=0.4, L3=0.44, L4=0.6, Lce=0.12,    Les4=0.32, Js3=0.03, Js4=3;
　　double t1,t2,t3,t4;//各杆的角速度double xf,vf,af;//滑块的速度,加速度
　　double A,B,C,D,E;
　　double g=9.8;
　　double Pr;
　　double Func_360(double z)
　　{
　　if(z<0)
　　return z=z+360;
　　else
　　return z;
　　}
　　double Func_2PI(double z)
　　{
　　if(z<0)
　　return z=z+2*PI;
　　else
　　return z;
　　}
　　double Angle_To_Radian(double z)//角度转弧度
　　{
　　z=PI*z/180;
　　return z;
　　}
　　double Radian_To_Angle(double z)//弧度转角度
　　{
　　z=180*z/PI;
　　return z;
　　}
　　void YunDongFenXi()//运动分析
　　{ B=2*L1*L2*cos(a
　　1)-2*a*L2;
　　a2=2*atan((A-sqrt(A*A+B*B-C*C))/(B-C)); a4=asin((b-L3*sin(a
　　3))/(L
　　4));
　　xf=a+L3*cos(a
　　3)+L4*cos(a
　　4);
　　double a22=Func_360(Radian_To_Angle(a
　　2));
　　double a33=Func_360(Radian_To_Angle(a
　　3));
　　double a44=Func_360(Radian_To_Angle(a
　　4));
　　t3=(L1*sin(a1-a
　　2)*t
　　1)/(L3-Lce)*sin(a3-a
　　2);//2杆的角速度 t4=-(t3*L3*cos(a
　　3))/(L4*cos(a
　　4));//4杆的角速度
　　vf=-t3*L3*sin(a
　　3)-t4*L4*sin(a
　　4);//滑块的速度
　　s1=0;//原动件的角加速度 E=-(L3-Lce)*t3*t3*sin(a
　　3)-L1*(s1*cos(a
　　1)-t1*t1*sin(a
　　1))+L2*t2*t2*sin(a
　　2);
　　s3=(D*cos(a
　　2)-E*sin(a
　　2))/((L3-Lce)*sin(a2-a
　　3));//3杆的角加速度
　　s2=(D+(L3-Lce)*s3*sin(a
　　3))/(L2*sin(a
　　2));//2杆的角加速度
　　s4=(L4*t4*t4*cos(a
　　4)-L3*(s3*cos(a
　　3)-t3*t3*sin(a
　　3)))/(L4*cos(a
　　4));//4杆的角加速度
　　af=-L3*(s3*sin(a
　　3)+t3*t3*cos(a
　　3))-L4*(s4*sin(a
　　4)+t4*t4*cos(a
　　4));//滑块加速度
　　cout<<＂原动件位置角度:＂<<Radian_To_Angle(a
　　1)<<＂角速度:＂<<t1<<＂角加速度:＂<<s1<<endl;
　　cout<<＂2杆的位置角度:＂<<a22<<＂角速度:＂<<t2<<＂角加速度:＂<<s2<<endl;
　　cout<<＂3杆的位置角度:＂<<a33<<＂角速度:＂<<t3<<＂角加速度:＂<<s3<<endl;
　　cout<<＂4杆的位置角度:＂<<a44<<＂角速度:＂<<t4<<＂角加速度:＂<<s4<<endl;
　　cout<<＂滑块的位移:＂<<xf<<＂滑块的速度:＂<<vf<<＂加速度:＂<<af<<endl;
　　}
　　void JingLiFenXi()//动态静力分析
　　{
　　if(a1>=4.043056565&& a1<=6.086718
　　5
　　6)
　　Pr=2200;
　　else
　　Pr=0;
　　double as3x=-Lds3*(cos(a
　　3)*t3*t3+sin(a
　　3)*s
　　3);
　　double as3y=-Lds3*sin(a
　　3)*t3*t3;
　　double as4x=-Les4*(cos(a
　　4)*t4*t4+sin(a
　　4)*s
　　4)-L3*(cos(a
　　3)*t3*t3+sin(a
　　3)*s
　　3);
　　double as4y=-Les4*sin(a
　　4)*t4*t4+L3*sin(a
　　3)*t3*t3;
　　double xa=0, xb=L1*cos(a
　　1);
　　double ya=0, yb=L1*sin(a
　　1); double xd=a, yd=-b;
　　double xe=a+L3*cos(a
　　3), ye=L3*sin(a
　　3)-b;
　　double xf=a+L3*cos(a
　　3)+L4*cos(a
　　4), yf=0;
　　double xs3=a+Lds3*cos(a
　　3), ys3=Lds3*sin(a
　　3)-b;
　　double xs4=Les4*cos(a
　　4)+xe, ys4=Les4*sin(a
　　4)+ye;
　　double F3x=-m3*as3x, F3y=-m3*as3y;
　　double F4x=-m4*as4x, F4y=-m4*as4y;
　　double F5=-m5*af;
　　double M3=Js3*s3, M4=Js4*s4;
　　double G3=m3*g, G4=m4*g, G5=m5*g;
　　double F43x=F4x-Pr;
　　double F43y=(M4+G4*(xs4-xf)+F4x*(yf-ys
　　4)+F4y*(xs4-xf)-(F4x-Pr)*(yf-ye))/(xe-xf);
　　double F54x=-Pr+F5;
　　double F54y=G4+F43y-F4y;
　　double F65y=G5+F54y;
　　double F32y=(M3+G3*(xs3-xd)+F3x*(yd-ys
　　3)+F3y*(xs3-xd)+F43x*(yd-ye)+F43y*(xe-xd))/((xc-xd)+(xc-xb)/(yb-yc)*(yd-yc));
　　double F32x=-F32y*(xc-xb)/(yb-yc); double F12y=-F32y; double F61y=F12y; double F63x=F32x-F43x-F3x;
　　double F63y=G3+F32y-F43y-F3y;
　　cout<<＂1杆的转矩为:＂<<M1<<endl; cout<<＂1杆对2杆在Y方向上的力为:＂<<F12y<<endl;
　　cout<<＂3杆对2杆在X方向上的力为:＂<<F32x<<endl;
　　cout<<＂3杆对2杆在Y方向上的力为:＂<<F32y<<endl;
　　cout<<＂4杆对3杆在X方向上的力为:＂<<F43x<<endl;
　　cout<<＂4杆对3杆在Y方向上的力为:＂<<F43y<<endl;
　　cout<<＂5杆对4杆在X方向上的力为:＂<<F54x<<endl;
　　cout<<＂5杆对4杆在Y方向上的力为:＂<<F54y<<endl;
　　cout<<＂6杆对1杆在X方向上的力为:＂<<F61x<<endl;
　　cout<<＂6杆对1杆在Y方向上的力为:＂<<F61y<<endl;
　　cout<<＂6杆对3杆在X方向上的力为:＂<<F63x<<endl;
　　cout<<＂6杆对3杆在Y方向上的力为:＂<<F63y<<endl;
　　cout<<＂6杆对5杆在Y方向上的力为:＂<<F65y<<endl;
　　}
　　void main()
　　{
　　a1=0;
　　a1=Angle_To_Radian(a
　　1);
　　for(int i=1;i<=6;i++)
　　{
　　YunDongFenXi();
　　JingLiFenXi();
　　cout<<endl<<＂------------------------------------------------------＂<<endl<<endl;
　　a1+=PI/3; } a1=Angle_To_Radian(a
　　1);
　　YunDongFenXi();
　　JingLiFenXi();
　　cout<<endl<<＂------------------------------------------------------＂<<endl<<endl; a1=Angle_To_Radian(a
　　1);
　　YunDongFenXi();
　　JingLiFenXi();
　　cout<<endl<<＂------------------------------------------------------＂<<endl<<endl;
　　}
　　五．输出结果
　　原动件位置角度:0角速度:48.1711角加速度:03杆的位置角度:1.85923角速度:1.03424角加速度:3314.6滑块的位移:1.22361滑块的速度:0.0508925加速度:162.2321杆对2杆在X方向上的力为:88371.73杆对2杆在X方向上的力为:-88371.7
　　3杆对2杆在Y方向上的力为:20315.7
　　4杆对3杆在X方向上的力为:-1669.8
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:12387.7
　　5杆对4杆在X方向上的力为:-14600.96杆对1杆在X方向上的力为:88371.76杆对3杆在X方向上的力为:-86806.2
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:8045.58
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:60角速度:48.1711角加速度:0
　　2杆的位置角度:355.646角速度:108.587角加速度:16431.24杆的位置角度:346.64角速度:-6.23446角加速度:-15672.71杆的转矩为:163851杆对2杆在Y方向上的力为:-11498.43杆对2杆在Y方向上的力为:11498.4
　　4杆对3杆在X方向上的力为:185711
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:56823.7
　　5杆对4杆在X方向上的力为:735059
　　5杆对4杆在Y方向上的力为:57754.66杆对1杆在Y方向上的力为:-11498.4
　　6杆对3杆在X方向上的力为:-349767
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:-45258.1
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:58636.6
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:120角速度:48.1711角加速度:03杆的位置角度:63.8067角速度:13.5015角加速度:-192.561滑块的位移:0.90679滑块的速度:-6.80996加速度:96.5901
　　1杆的转矩为:-155.81杆对2杆在Y方向上的力为:-283.9943杆对2杆在Y方向上的力为:283.9944杆对3杆在Y方向上的力为:-1597.12
　　5杆对4杆在X方向上的力为:-8693.11
　　5杆对4杆在Y方向上的力为:631.8666杆对1杆在Y方向上的力为:-283.994
　　6杆对3杆在X方向上的力为:3256.12
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:1841.68
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:1513.87
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:180角速度:48.1711角加速度:03杆的位置角度:85.5745角速度:7.83443角加速度:-761.14
　　4杆的位置角度:325.634角速度:-0.537069角加速度:106.8331杆的转矩为:-966.1991杆对2杆在Y方向上的力为:-8051.663杆对2杆在Y方向上的力为:8051.66
　　4杆对3杆在X方向上的力为:-9127.05
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:2473.26
　　5杆对4杆在X方向上的力为:-33107.3
　　5杆对4杆在Y方向上的力为:3429.496杆对1杆在Y方向上的力为:-8051.66
　　6杆对3杆在X方向上的力为:22153.6
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:5637.25
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:4311.49
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:240角速度:48.1711角加速度:03杆的位置角度:92.6593角速度:-1.18108角加速度:-977.488
　　4杆的位置角度:325.537角速度:-0.0487394角加速度:-39.0961
　　滑块的位移:0.664279滑块的速度:0.502566加速度:416.3851杆对2杆在X方向上的力为:-19119.93杆对2杆在X方向上的力为:19119.9
　　3杆对2杆在Y方向上的力为:26309.6
　　4杆对3杆在X方向上的力为:-13187.1
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:5880.27
　　5杆对4杆在X方向上的力为:-39674.6
　　5杆对4杆在Y方向上的力为:6151.02
　　6杆对1杆在X方向上的力为:-19119.96杆对3杆在X方向上的力为:33244.4
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:20545.6
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:7033.02
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:300角速度:48.1711角加速度:03杆的位置角度:62.4684角速度:-4.92588角加速度:-233.801滑块的位移:0.918551滑块的速度:2.4755加速度:116.9381杆对2杆在X方向上的力为:-5006.513杆对2杆在X方向上的力为:5006.514杆对3杆在X方向上的力为:-4868.5
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:1358.145杆对4杆在Y方向上的力为:1873.73
　　6杆对1杆在X方向上的力为:-5006.516杆对3杆在X方向上的力为:10063.3
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:3921.3
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:2755.73
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:348.743角速度:48.1711角加速度:0
　　2杆的位置角度:348.743角速度:-14.4513角加速度:4437.64杆的位置角度:9.39348角速度:3.81437e-007角加速度:-4207.911杆的转矩为:-0.00247071杆对2杆在Y方向上的力为:-282703杆对2杆在Y方向上的力为:28270
　　4杆对3杆在X方向上的力为:-7609.13
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:20603.2
　　5杆对4杆在X方向上的力为:-38231
　　5杆对4杆在Y方向上的力为:208586杆对1杆在Y方向上的力为:-28270
　　6杆对3杆在X方向上的力为:-134452
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:7784.38
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:21740
　　------------------------------------------------------
　　原动件位置角度:231.65角速度:48.1711角加速度:0
　　2杆的位置角度:51.6501角速度:14.4513角加速度:-555.3724杆的位置角度:325.548角速度:2.52801e-008角加速度:-41.7613
　　滑块的位移:0.662387滑块的速度:-2.37093e-007加速度:391.665
　　1杆的转矩为:-0.0001365781杆对2杆在Y方向上的力为:-19021
　　3杆对2杆在X方向上的力为:15048.84杆对3杆在X方向上的力为:-10355.3
　　4杆对3杆在Y方向上的力为:4161.07
　　5杆对4杆在X方向上的力为:-35249.9
　　5杆对4杆在Y方向上的力为:4415.87
　　6杆对1杆在X方向上的力为:-15048.86杆对3杆在X方向上的力为:26289.5
　　6杆对3杆在Y方向上的力为:14977.5
　　6杆对5杆在Y方向上的力为:5297.87
　　------------------------------------------------------
　　结果分析
　　数据图
　　think the result is right, and it has been inspected. But there may be a little mistake. It maybe caused by the digit number of the float or double datatype. The value of PI is also not very exactitude.
　　六．实验心得
　　本次课程设计，虽说时间较短，但就在这几天的紧张工作中，我却学到了很多东西，这些都是我在平时无法学习到的。它不仅使我对机械原理这门课程有了更为深刻的理解，而且对于我的工作品质的培养也是大有收益的。
　　作为一名机械系，机械设计制造及自动化大三的学生，我觉得能做类似的课程设计是十分有意义，而且是十分必要的。在已度过的大三的时间里我们大多数接触的是专业基础课。我们在课堂上掌握的仅仅是专业基础课的理论面，如何去锻炼我们的实践面？如何把我们所学到的专业基础理论知识用到实践中去呢？我想做类似的大作业就为我们提供了良好的实践平台。在做本次大作业的过程中，我感触最深的当数查阅大量的设计手册了。为了让自己的设计更加完善，更加符合工程标准，一次次翻阅机械设计手册是十分必要的，同时也是必不可少的。我们是在作设计，但我们不是艺术家。他们可以抛开实际，尽情在幻想的世界里翱翔，我们是工程师，一切都要有据可依.有理可寻，不切实际的构想永远只能是构想，永远无法升级为设计。
　　作为一名专业学生掌握编程同样是必不可少的，由于本次大作业要求用VC++编程等，所以我们还要好好掌握这门语言。虽然过去从未独立应用过它，但在学习的过程中带着问题去学我发现效率好高，为我们没有把自己放在使用者的角度，单单是为了学而学，这样效率当然不会高。边学边用这样才会提高效率，这是我作本次课程设计的第二大收获。但是由于水平有限，难免会有错误，还望老师批评指正。
　　参考文献
　　＂Mechanisms and Machine Theory＂ Ye Zhonghe, Lan Zhaohui, M.R.Smith, 2001.7
　　＂机械原理＂
　　＂线性代数＂