平面向量的数量积及运算律（1）

　　教学目的：
　　1 掌握平面向量的数量积及其几何意义；
　　2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
　　3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
　　4 掌握向量垂直的条件
　　教学重点：平面向量的数量积定义
　　教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
　　授课类型：新授课
　　课时安排：1课时
　　教 具：多媒体、实物投影仪
　　内容分析：
　　本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律
　　教学过程：
　　一、复习引入：
　　1． 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
　　2．平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2
　　3．平面向量的坐标表示
　　分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得
　　把 叫做向量 的（直角）坐标，记作
　　4．平面向量的坐标运算
　　若 ， ，
　　则 ， ，
　　若 ， ，则
　　5．   (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0
　　6．线段的定比分点及λ
　　p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数λ，
　　使 =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：
　　λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
　　7 定比分点坐标公式：
　　若点p１(x1,y1) ，ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且  λ ，则点p的坐标为（ ），我们称λ为点p分 所成的比
　　8 点p的位置与λ的范围的关系：
　　①当λ ０时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点
　　②当λ ０( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点
　　9 线段定比分点坐标公式的向量形式：
　　在平面内任取一点o，设   ，   ，
　　可得 =
　　10．力做的功：w = | || |cos，是 与 的夹角
　　二、讲解新课：
　　1．两个非零向量夹角的概念
　　已知非零向量 与 ，作   ，   ，则 ａｏｂ θ（０ θ π）叫 与 的夹角
　　说明：（1）当θ ０时， 与 同向；
　　（2）当θ π时， 与 反向；
　　（3）当θ  时， 与 垂直，记   ；
　　（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0  180
　　2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos叫 与 的数量积，记作  ，即有  = | || |cos，
　　（０ θ π） 并规定 与任何向量的数量积为0
　　探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
　　（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定
　　（2）两个向量的数量积称为内积，写成  ；今后要学到两个向量的外积   ，而  是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号＂• ＂在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用＂ ＂代替
　　（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若  ，且  =0，不能推出 = 因为其中cos有可能为0
　　（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c
　　但是  =  =
　　如右图：  = | || |cos = | ||oa|，  = | || |cos = | ||oa|
　　  =  但 
　　(5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是(  )  (  )
　　显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共线
　　3．＂投影＂的概念：作图
　　定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
　　投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | |
　　4．向量的数量积的几何意义：
　　数量积  等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积
　　5．两个向量的数量积的性质：
　　设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量
　　1  =  =| |cos
　　2    = 0
　　3 当 与 同向时，  = | || |；当 与 反向时，  = | || |
　　特别的  = | |2或
　　4 os =
　　5|  |   | || |
　　三、讲解范例：
　　例1 判断正误，并简要说明理由
　　① •   ；②0•  ０；③ －   ；④  •      ；⑤若   ，则对任一非零 有 •  ０；⑥ •  ０，则 与 中至少有一个为 ；⑦对任意向量 ， ， 都有（ • ）   （ • ）；⑧ 与 是两个单位向量，则 ２  ２
　　解：上述8个命题中只有③⑧正确；
　　对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有 •  ０；
　　对于②：应有０•   ；
　　对于④：由数量积定义有  •    •   • cosθ     ，这里θ是 与 的夹角，只有θ ０或θ π时，才有  •    •   ；
　　对于⑤：若非零向量 、 垂直，有 •  ０；
　　对于⑥：由 •  ０可知   可以都非零；
　　对于⑦：若 与 共线，记  λ
　　则 •  （λ ）•  λ（ • ） λ（ • ），
　　（ • ）•  λ（ • ）  （ • ）λ  （ • ）
　　若 与 不共线，则( • )  （ • ）
　　评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律
　　例2 已知   ３，   ６，当①   ，②   ，③ 与 的夹角是60 时，分别求 •
　　解：①当   时，若 与 同向，则它们的夹角θ ０ ，
　　•    •   cos0 3 6 1 18；
　　若 与 反向，则它们的夹角θ 180 ，
　　•      cos180 3 6 （-1） －18；
　　②当   时，它们的夹角θ 90 ，
　　•  ０；
　　③当 与 的夹角是60 时，有
　　•      cos60 3 6   9
　　评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0 ，180 ］，因此，当   时，有0 或180 两种可能
　　四、课堂练习：
　　五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题
　　六、课后作业：
　　七、板书设计（略）
　　八、课后记及备用资料：
　　1 概念辨析：正确理解向量夹角定义
　　对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
　　1 已知 abc中，  ５，  ８，ｃ ６０ ，求 •
　　对此题，有同学求解如下：
　　解：如图，     ５，     ８，ｃ ６０ ，
　　•    •   cosｃ 5 8cos60 20
　　分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 与 两向量的起点并不同，因此，ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是c的补角120
　　2 向量的数量积不满足结合律
　　分析：若有（ • ）   •（ • ），设 、 夹角为 ， 、 夹角为β，则( • )    •   cosα• ，
　　•( • )  •     cosβ
　　若   ，α β，则     ，进而有：（ • ）   •( • )
　　这是一种特殊情形，一般情况则不成立 举反例如下：
　　已知   １，   １，    ， 与 夹角是60 ， 与 夹角是45 ，则：
　　( • )•  （   •   cos60 ）   ，
　　•( • ) （   •   cos45 ）
　　而   ，故（ • ）•   •（ • ）