人教版高一数学零点求法与方程及运用教案
零点求法与方程及运用
一、概念认识:零点是函数 的零点,但不是点,是满足 的" "。
二、策略优化:
①定义法 ( 与 轴交点),
②方程法 (解方程 ),
③构造函数法,
三、运用体验:
四、经典训练:
例1: 是 的零点,若 ,则 的值满足 .
【分析】函数 在 上是单调递增的,这个函数有零点,这个零点是唯一的,根据函数是单调递增性,在 上这个函数的函数值小于零,即 。
【考点】函数的应用。
【点评】在定义域上单调的函数如果有零点,则只能有唯一的零点,并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间,在其中一个区间内函数值都大于零,在另一个区间内函数值都小于零。
练习:1." "是"函数 在区间 上存在零点 "的 .充分非必 要条件
例2已知函数 有零点,则 的取值范围是___________.
练习:若函数 在r上有两个零点,则实数k的取值范围为_____________
练习:设函数 ,记 ,若函数 至少存在一个零点,则实数 的取值范围是 .
练习:设函数 ,若函数 在 上恰有两个不同零点,则实数的 取值范围是 .
例3:若方程 的解为 ,则不小于 的最小整数是 .5
例4:已知函数 ,在区间 上有最大值4,最小值1,设 .
(ⅰ)求 的值;
(ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 的范围.
解:(ⅰ)(1) 当 时, 上为增函数
故
当 上为减函数
故
即 . .
(ⅲ)方程 化为
,
令 , 则方程化为 ( )
方程 有三个不同的实数解,
由 的图像知,
有两个根 、 ,
且 或 ,
记
则 或
练习:已知二次函数 .
(1)若 ,试判断函数 零点个数;
(2) 若对 且 , ,试证明 ,使 成立;
解:(1)
当 时 ,
函数 有一个零点;当 时, ,函数 有两个零点。
在 内必有一个实根。即 ,使 成立。
五、课外拓展:
1.已知函数 的零点依次为a,b,c,则 .
a.a<b<cb.c<b<ac.a<c<bd.b<a<c
2.已知函数 .
3)记 .当 时,函数 在区间 上有两个零点,求实数 的取值范围.
解:(iii)依题得 ,则 .由 解得 ;由 解得 .
所以函数 在区间 为减函数,在区间 为增函数.
又因为函数 在区间 上有两个零点,所以
解得 .所以 的取值范围是 .
3.已知函数 = 当2 a 3 b 4时,函数 的零点 5
【解析】方程 =0的根为 ,即函数 的图象与函数 的交点横坐标为 ,且 ,结合图象,因为当 时, ,此时对应直线上 的点的横坐标 ;当 时, 对数函数 的图象上点的横坐标 ,直线 的图象上点的横坐标 ,故所求的 .
4.设函数
(ⅰ)略;(ⅱ)求函数的单调区间与极值;
(ⅲ)已知函数 有三个互不相同的零点0, ,且 .若对任意的 , 恒成立,求m的取值范围.
解:(2) ,令 ,得到
因为 ,当x变化时, 的变化情况如下表:
+0-0+
极小值
极大值
在 和 内减函数,在 内增函数.
函数 在 处取得极大值 ,且 =
函数 在 处取得极小值 ,且 =
(3)解:由题设,
所以方程 =0由两个相异的实根 ,故 ,
且 ,解得
因为
若 ,而 ,不合题意
若 则对任意的 有
则 又 ,所以函数 在 的最小值为0,于是对任意的 , 恒成立的充要条件是 ,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上,m的取值范围是
5.已知函数 , ,设 ,且函数 的零点均在区间 内,则 的最小值为 .
6.设函数 , .
(ⅲ)设 有两个 零点 ,且 成等差数列,试探究 值的符号.
解:(3) 的符号为正,理由为:因为 有两个零点 ,则有 ,两式相减,得
即
于是
当 时,令 ,则 ,
设 ,则
所以 在 上为单调增函数,而 ,所以 >0,
又因a>0, ,所以
同理,当 时,同理可得
综上所述 的符号为正。
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